第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质及三角分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(·盐城调研)函数y＝cos－2·sin2x的最小正周期为________．解析y＝cos－(1－cos2x)＝cos2xcos＋sin2xsin＋cos2x－＝sin2x＋cos2x－＝sin－，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.答案π2．(·苏北四市调研)函数y＝sin＋cos的最大值为________．解析法一由题意可知y＝sin2xcos＋cos2xsin＋cos2xcos＋sin2xsin＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以最大值为2.法二y＝sin＋cos＝2sin，所以最大值为2.答案23．(·北京东直门中学模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0，则A·ω＝________.解析由题图可知，T＝π，所以ω＝2，易得sin＝1，又|φ|<，所以φ＝，因此y＝Asin，又M，N，若OM·ON＝0，则×－A2＝0，所以A＝π，因此A·ω＝2×π＝π.答案π4．(·泰州学情调查)要使sinα－cosα＝有意义，则m的范围为________．解析＝sinα－cosα＝2sin∈[－2,2]，所以－2≤≤2，解得－1≤m≤.答案5．(·镇江调研)函数f(x)＝sin＋2sinxcosx在区间上的最大值是________．解析f(x)＝＋2sinxcosx＝sinx＋cosx＋2sinxcosx．设t＝sinx＋cosx，则t2＝1＋2sinxcosx，∴2sinxcosx＝t2－1≤，且由x≤，得t＝sin∈[1，]，所以y＝t＋t2－1＝t2＋t－1，当t＝时，ymax＝＋1.答案＋16．给出下列命题：①函数y＝cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x＝是函数y＝sin的一条对称轴；⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称图形．其中正确命题的序号为________．解析①y＝cos⇒y＝－sinx是奇函数；②由sinα＋cosα＝sin的最大值为，＜，所以不存在实数α，使得sinα＋cosα＝.③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tanα＝，tanβ＝tan390°＝，tanα＞tanβ，所以③不成立．④ 2×＋π＝＋π＝π，sinπ＝－1，∴④成立．⑤ sin＝sin＝1≠0，∴⑤不成立．答案①④二、解答题(每小题15分，共30分)7．(·陕西卷)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈，f＝2，求α的值．解(1)由题意，A＋1＝3，所以A＝2.因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期T＝π，所以ω＝2.故函数f(x)＝2sin＋1.(2)因为f＝2sin＋1＝2，所以sin＝.又0<α<，所以α－＝，即α＝.8．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故点B的坐标为，∴h＝5.6＋4.8sin.(2)点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0∞，＋)．到达最高点时，h＝10.4m.由sin＝1，得t－＝，∴t＝30，∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．分层训练B级创新能力提升1．(·江苏海安中学二模)设函数y＝sin的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈，则x0＝________.解析因为函数图象的对称中心是其与x轴的交点，所以y＝sin＝0,2x0＋＝kπ，x0∈，解得x0＝－.答案－2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是________安．解析由图象知A＝10，＝－＝，∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．为五点中的第二个点，∴100π×＋φ＝.∴φ＝.∴I＝10sin，当t＝秒时，I＝－5安．答案－53．(·南通调研)函数f(x)＝sinωx＋cosωx(x∈R)，又f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于，则正数ω的值为________．解析f(x)＝2sin，由题意得f(x)的最小正周期T＝4×＝2π，所以＝2π，即ω＝1.答案14．(·菏泽模拟)函数f(x)＝3s...
