解析几何中的运算方法与技巧解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。1.回归定义：圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。例1、一种酒杯是抛物线绕轴旋转而成的，将长为的玻璃棒（质地均匀）随意的放入酒杯内（杯壁足够高，能没入玻璃棒），试确定玻璃棒的平衡位置。2、设而不求点差法---与对称、弦的中点等有关的问题，常考虑设而不求。例2、是已知椭圆上的两点，线段垂直平分线与轴交于点，求证：3、用好对称例3、如图2，在直线上任取一点，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，问在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程．BxyAlMOFMBA2图4、活用平几—垂直平分线、角平分线性质、相似全等、圆、圆锥曲线、正余弦定理例4、设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点O．例5、某人在一山坡处观看对面山顶上的一座铁塔，如图4所示，塔高米，塔所在的山高米，米，图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，试问此人距离水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人身高）？例6、设点，动点在椭圆上且满足，试求的取值范围。AOPBC()l山坡水平地面4图AOBCPxyQMl5图5、巧用向量例7、已知椭圆，直线L：，P是L上一点，射线OP交C于点R。又点Q在射线OP上且满足：，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程。例8、已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为。设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，。当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。6、巧设参数：上面例6POQRxy13图针对性练习一、巧用韦达定理简化运算题型1、过二次曲线C上一点P（x0，y0）作直线l，求l与C另一交点。例1：求直线y=kx+－k与椭圆+y2=1的交点坐标。题型2、合二为一的整体运算例2：点P（x0，-）作抛物线y=x2的两条切线，求证过：切点弦过定点。（提示：若切点为（）则切线斜率为）例3：抛物线y2=2x上动点P，过点P作⊙C：（x-1）2+y2=1的切线PM，PN分别交y轴于M，N两点，求△PMN面积的最小值。例4：过抛物线x2=2y的焦点作斜率分别为k1、k2的两条直线l1和l2，若l1交抛物线于A、B两点，l2交抛物线于C、D两点。以线段AB为直径作圆C1，以CD为直径作圆C2。若k1+k2=2，求两圆C1与C2的公共弦所在直线方程。二、利用计算的对称性避免重复运算例5、已知椭圆的一个焦点为，离心率为。若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程。例6、设椭圆E：+y2=1上一点A（1，），过A作两条关于平行y轴的直线对称的两条直线AC，AD交椭圆于另两点C和D。求证：CD直线的斜率为定值。例7、一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线E：-=1（a>0,b>0），交于P、Q两点，直线l与y轴交于R，且.若F是双曲线的右焦点，M与N是E上的两点，且，求实数λ的取值范围。例8、设A、B是椭圆+=1（a>b>0）上两点，O为原点，且OA⊥OB，求△AOB面积的最大值。（若减少条件OA⊥OB呢？）三、活用图形的几何性质，则计算变得更为轻巧例9、（1）若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点，求m范围（2）双曲线-=1（a>0，b>0）的两焦点为E、F，△MEF为等边三角形。若线段ME的中点N在双曲线上，求双曲线的离心率（3）抛物线y2=4x与圆(x-a)2+y2=a2有唯一公共点，求a的取值范围例10、设圆C与两圆(x+)2+y2=4，(x-)2+y2=4中的一个内切，另一个外切。（1）求圆心C的轨迹L的方程；（2）已知点M（，），F（，0），若点P是L上的动点，求||MP|-|FP||的最大值及此P点坐标。例11、设F1、F2分别是椭圆E：+=1（a>b>0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l交E于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（1）求E的离心率；（2）设P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程。例12、已知抛物线C：y2=4x的焦点F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，若点A关于x轴的对称点为D。（1）证明：点F在直线BD上；（2）设，求△BDK的内切圆方程。
