浙江省效实中学2013届高三数学上学期期中试题理新人教A版说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则(A)(B)(C)(D)2．已知，则等于(A)(B)(C)(D)3．若向量满足，且，则与的夹角为(A)(B)(C)(D)4．等差数列的公差，且成等比数列，是数列的前项和，则的值为(A)(B)(C)(D)5．函数的单调递增区间是(A)(B)(C)(D)6．已知函数，则下列结论正确的是(A)函数在区间上为增函数(B)函数的最小正周期为(C)函数的图象关于直线对称(D)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象7．已知．现有下列不等式：①；②；③；④．其中正确的是(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④用心爱心专心18．是所在平面内一点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心9．若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是(A)(B)(C)(D)10．如图放置的正方形分别在轴、轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．复数满足，其中是虚数单位，则复数▲．12．在的展开式中，含项的系数是▲．13．函数的部分图象如右图，则▲．14．若函数在其定义域上有且只有一个零点，则实数的取值范围是▲．15．在中，分别为角所对的边，为边上的高．已知，且，则▲．16．在中，分别为角所对的边，若，则的最大值为▲．用心爱心专心2第13题图第10题图17．设正整数数列满足：，且对于任何，有，则▲．三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．(本题满分9分)已知函数在一个周期内的图象如图所示，点为图象的最高点，为图象与轴的交点，且三角形的面积为．（I）求的值及函数的值域；（II）若，求的值．19．(本题满分9分)用这六个数字，组成四位数．（I）可以组成多少没有重复数字的四位数？（II）可组成多少个恰有两个相同数字的四位数？用心爱心专心3第18题图20．(本题满分10分)在中，分别为角所对的边，向量，，且垂直．（I）确定角的大小；（II）若的平分线交于点，且，设，试确定关于的函数式，并求边长的取值范围．21．(本题满分11分)已知以为首项的数列满足（I）当时，求数列的通项公式；（II）当时，试用数列表示数列前100项的和；（III）当时，正整数时，证明：数列成等比数列的充要条件是．22．(本题满分10分)已知函数，，．()Ⅰ设对任意，恒成立，求的取值范围；()Ⅱ是否存在实数，使得满足的实数有且仅有一个？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由．用心爱心专心4\s\up8(宁波效实中学)Combin一、选择题(1)D．(2)A．(3)C．(4)A．(5)D．(6)C．(7)B．(8)C．(9)B．(10)D．二、填空题(11)(12)6(13)(14)(15)(16)(17)．ks5u三、解答题(18)(I)又，，则。则值域是；ks5u(II)由得，，得则ks5u。(19)（I）；（II）①0重复：；②其他数重复：(i）有0：(ii)无0：；ks5u所以60+180+360=600个。(20)（I）由得，（II）由得，则．由用心爱心专心5，得，(21)（I）由题意得:ks5u（II）当时，,,,,,,，，ks5uks5u（3）（i）当时，；ks5u，,综上所述，当，数列是公比为的等比数列．（ii）假设时，又,用心爱心专心6,,不成等比数列。所以假设不成立,。命题得证（22）(Ⅰ)法一：由得，即；又当时，，因为，则，于是，ks5u即恒成立，故的取值范围是．法二：当时，，此时；当时，等价于。令，，由，因为，，所以，，于是在，从而，所以．综上，的取值范围是．(Ⅱ)假设存在，由等价于，令，，则。（ⅰ）若,则,舍去;（ⅱ）若，即，变形得，ks5u函数与的图象只有一个交点，且，所以存在惟一正数，使，因此符合；（ⅲ）若，此时必存在使的正根，记这个正根为，则，，得在，用心爱心专心7从而最小值为，因为满足的实数有且仅有一个，所以，由得，即，记，，由可知为增函数，因为,,所以有且仅有惟一正数，代入得．综上，这样的实数存在，且或．用心爱心专心8
