§9.1平面和空间直线要点梳理1.平面的基本性质（1）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，即三个公理和公理3的三个推论.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的在这个平面内.基础知识自主学习所有点第九章（A）直线、平面、简单几何体公理3：经过不在同一条直线上的三点，即不共线的三点.推论1：经过一条直线和直线外的一点.推论2：经过两条相交直线.推论3：经过两条平行直线.（2）水平放置的平面图形的直观图的画法——斜二测画法.其规则是：①在已知图形上取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz=，且∠yOz=；有且只有一个平面确定一个平面有且只有一个平面有且只有一个平面有且只有一个平面90°90°公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是.一条直线②画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=(或)，∠x′O′z′=，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成的线段;④已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中;平行于y轴的线段,.45°135°90°2.空间两条直线(1)空间两条直线的位置关系有、、.(2)平行直线①公理4：平行于同一条直线的两条直线.相交平行异面平行于x′轴，y′轴或z′轴保持长度不变长度为原来的一半互相平行②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角.(3)异面直线①定义：的两条直线叫做异面直线.②公垂线：和两条异面直线的直线叫做两条异面直线的公垂线.③异面直线所成的角:设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的叫做异面直线a,b所成的角（或夹角）.④范围：.相等不同在任何一个平面内都垂直相交锐角或直角]2,0(基础自测1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分解析如图所示,三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.则α、β、γ把空间分成7部分.C2.直线a,b,c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为（）A.1B.3C.6D.0解析以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个.B3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（）A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析如图所示，a∥b,c与d相交,a与d异面.D4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A.12对B.24对C.36对D.48对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线.242412对B5.下列命题中不正确的是.①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面..解析没有公共点的两直线平行或异面,故①错；命题②错,此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a,则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b,又c∥a,则a∥b，这与a,b异面矛盾，故cb;命题④也正确，若c与两异面直线a,b都相交，由公理3可知，a,c可能确定一个平面,b,c也可确定一个平面，这样,a,b,c共确定两个平面.答案①②题型一平面的基本性质如图所示，空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH∶HD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点.证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线,点看作是两平面的公共点,由公理3得证.【例1】思维启迪题型分类深度剖析(1)解∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.即AH∶HD=3∶1.（2）证明 EF∥GH,且∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，P∈FG,FG平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.,2FBCFEB...
