同底数幂的乘法-(3)VIP免费

乘方趣题观察下列各式：13+23=9=14×4×9=14×22×32；13+23+33=36=14×9×16=14×32×42；13+23+33+43=100=14×16×25=14×42×52；若n为正整数，试猜想13+23+33+⋯⋯+n3等于多少？解析:观察三个等式，可以发现每个式中的几个连续整数的立方和，都等于最后一个整数与相邻的下一个整数的平行的乘积的14，因此13+23+33+⋯⋯+n3等于14n2(n+1)2.这里我们与课上的探究过程类似，也是运用由“特殊”到“一般”的归纳的方法来猜想得到的结论队列操练中的数学趣题一次团体操排练活动中，某班45名学生面向教师站成一列横队，老师每次让其中任意6名学生向后转（不论原来方向如何），能否经过若干次后全体学生都背向教师站立？如果能够的话，请你设计一种方案；如果不能够，请说明理由。问题似乎与数学无关，却又难以入手。注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转又可想像为进行一次运算，或者说改变一次符号。我们能否设法联系有理数的知识进行讨论呢？让我们再发挥一下想像：假设每个学生胸前有一块号码布，上写“＋1”，背后有一块号码布，上写“－1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个“＋1”的“乘积”是“＋1”。如果最后全部背向老师，则45个“－1”的“乘积”是“－1”。再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”。我们也设想老师不叫“向后转”，而将这6名学生对着老师的数字都“乘以（－1）”。这样问题就解决了：每次“运算”乘上6个（－1），即乘上了(−1)6,也就是（＋1），故45个数的乘积不变（数学上称为不变量），始终是（＋1）。所以，要乘积变为（－1）是不可能的。一个难题，被有理数的简单运算别出心裁地解决了。有理数的知识多么有用！可同学们的想像力更重要。怎样理解“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”？幂的运算性质的表达式是am·an=am+n（m，n均为正整数）（1）左边两个幂的底数相同，而且是相乘的关系；右边所得到的一个幂，底数仍不变，指数相加。可见，这一性质由乘法运算降为加法运算（指数相加）。对于这一性质，不仅要记住结论，更重要的是掌握结论导出过程。因为这个推导过程体现了“由特殊到一般的数学思想方法”。掌握这一方法对于学好数学（当然也包括其他学科）是非常重要的。（2）公式中的字母a既可以表示数，也可以表示单项式，还可表示多项式。（3）当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则仍成立，即am·an·ap=am+n+p（m，n，p都是正整数）。（4）只有“同底数”的幂相乘才能用这个法则。千万不要出现类似下面的错误：a2·（－a）3=a5。这里出错的原因是因为这两个底数不同，一个是a，一个是－a，而强用了法则。（5）注意可逆用公式am+n=am·an（m，n都是正整数）。