2.1.3函数的单调性一．学习要点：函数的单调性的概念及其简单应用二．学习过程：引例：考察函数，，的图象。问题：当自变量在实数集内由小变大时，函数的值怎样变化？一函数单调性的定义：在函数的图象上任取两点、，记，．——自变量的改变量，——因变量的改变量。一般地，设函数的定义域为，区间．1.增函数：对任意两个值，当改变量时，有，那么就称函数在区间上是增函数；2.减函数：对任意两个值，当改变量时，有，那么就称函数在区间上是减函数。3.单调性：如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性（区间称为单调区间）。注意：1.定义中的，应满足三个条件：同属于一个单调区间；具有任意性；规定大小；2.函数的单调性是对某个区间而言的，函数的单调区间为函数定义域的子区间；3.对于单独的一个点由于它的函数值是唯一的常数，因而没有增1减变化，不存在单调性问题。在书写单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间；4.如果函数在某几个区间上具有相同的单调性，在这几个区间的并集上则不一定具有单调性。5.当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数；越大，函数值在上增长或减少得就越快。二求函数的单调区间：例1如图是定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。三函数单调性的证明：例2证明函数在上是增函数。2xyO例3证明函数在区间和上分别是减函数。四函数单调性的应用：例4已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围。课堂练习：1．设函数是上的减函数，则有（）A．B．C．D．2．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．3．下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．34．函数在上为增函数，则实数的取值范围是________________5．函数的单调减区间是________________6．函数的单调减区间是________________7．函数的图象如图，则函数的单调减区间是________________8．函数在上递增，则的范围为______________9．求证在为增函数。10．对于给定区间上任意两个值，，，4xyO，①当时，函数在区间上为增函数②当时，函数在区间上为减函数③当时，函数在区间上的单调性不确定④当时，函数在区间上的单调性不确定上述判断正确的个数为（）A．B．C．D．11．函数的单调增区间是_______________12．函数的单调减区间是_______________13．函数的单调减区间是_______________14．函数的单调区间是________________15．函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是_____________16．求证函数在上是减函数。517．证明：函数在上是减函数。6
