北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2013.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，所以，即，选B.2．复数（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】,选A.3．执行如图所示的程序框图，则输出（）（A）（B）（C）（D）1【答案】C【解析】第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，选C.4．函数的零点个数为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由，得，令，在坐标系中作出两个函数的图象，由图象可知交点为一个，即函数的零点个数为1个，选B.5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中,所以四棱锥的体积为，选C.6．过点作圆的两条切线，，为切点，则（）2（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】设切线斜率为，则切线方程为，即，圆心到直线的距离，即，所以，，,所以，选D7．设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，显然不成立。由得，即，所以。若，则，满足。当时，满足，但，所以“”是“”的充分而不必要条件，选A.8．已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：①；②；③．其中，具有性质的函数的序号是（）（A）①（B）③（C）①②（D）②③【答案】B【解析】由题意可知当时，恒成立，若对，有。①若，则由得，平方得，所以不存在常数，使横成立。所以①不具有性质P.②若，由得，整理，所以不存在常数3，对，有成立，所以②不具有性质P。③若，则由得由，整理得，所以当只要，则成立，所以③具有性质P，所以具有性质的函数的序号是③。选B第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量，．若向量与共线，则实数______．【答案】【解析】因为向量与共线，所以，解得。10．平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自△内部的概率为______．【答案】【解析】,根据几何概型可知点取自△内部的概率为，其中为平行四边形底面的高。11．双曲线的渐近线方程为______；离心率为______．【答案】，；【解析】由双曲线的标准方程可知，，所以，。所以双曲线的渐近线方程为，离心率。412．若函数是奇函数，则______．【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以，即。13．已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．【答案】，【解析】若，则，此时，即的值域是。若，则，因为当或时，，所以要使的值域是，则有，，即的取值范围是。14．设函数，集合，且．在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为______．【答案】【解析】因为，所以由得，即，它表示以为圆心，半径为的圆面。由得，即，整理得，即或，显然的交点为，且两直线垂直，所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积，所以集合所表示的5区域的面积为，如图：三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△中，内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求△的面积．16．（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求线段的长；6（Ⅱ）求证：//平面；（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．18．（本小题满...
