(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为()A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：连接a，b的终点，并指向a的向量是a－b.答案：C2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A．EF�＝OF�＋OE�B．EF�＝OF�－OE�C．EF�＝－OF�＋OE�D．EF�＝－OF�－OE�解析：由减法的三角形法则知EF�＝OF�－OE�.答案：B3．△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN�＝λAB�＋μAC�，则λ＋μ的值为()A.B.C.D．1解析：AM�＝2AN�＝2(λAB�＋μAC�)＝2λAB�＋2μAC�.∵M、B、C共线，∴2λ＋2μ＝1，λ＋μ＝.答案：A4．(2010·广东中山六校联考)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD�＝2DB�，CD�＝CA�＋λCB�则λ等于()A.B.C．－D．－解析：∵CD�＝CA�＋AD�，CD�＝CB�＋BD�，∴2CD�＝CA�＋CB�＋AD�＋CB�.又AD�＝2DB�，∴2CD�＝CA�＋CB�＋AB�＝CA�＋CB�＋(CB�－CA�)＝CA�＋CB�.∴CD�＝CA�＋CB�，即λ＝.答案：A5．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若OA�－4OB�＋3OC�＝0，则＝()A.B.C．2D．3解析：∵OA�－4OB�＋3OC�＝0，∴(OA�－OB�)－3OB�＋3OC�＝0，即OA�－OB�＝3(用心爱心专心1OB�－OC�)，∴BA�＝3CB�，∴＝3.答案：D6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA�＋PB�＋PC�＝AB�，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点解析：∵PA�＋PB�＋PC�＝AB�，∴PA�＋PB�＋PC�＝PB�－PA�，∴PC�＝－2PA�＝2AP�，∴P是AC边的一个三等分点．答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．(2009·安徽高考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC�＝λAE�＋μAF�，其中，λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，且E、F分别为CD、BC中点．∴AC�＝AD�＋AB�＝(AE�－DE�)＋(AF�－BF�)＝(AE�＋AF�)－(DF�＋BC�)＝(AE�＋AF�)－AC�，∴AC�＝(AE�＋AF�)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.答案：8．设向量e1，e2不共线，AB�＝3(e1＋e2)，CB�＝e2－e1，CD�＝2e1＋e2，给出下列结论：①A、B、C共线；②A、B、D共线；③B、C、D共线；④A、C、D共线，其中所有正确结论的序号为________．解析：AC�＝AB�－CB�＝4e1＋2e2，BD�＝CD�－CB�＝3e1，由向量共线的充要条件b＝λa(a≠0)可得A、C、D共线，而其他λ无解．答案：④9．(2010·南通模拟)已知两个不共线的向量OA�，OB�的夹角为θ，且|OA�|＝3.若点M在直线OB上，且|OA�＋OM�|的最小值为，则θ的值为________．解析：如图，作向量AN�＝OM�，则OA�＋OM�＝ON�，其中点N在直线AC上变化，显然当ON⊥AC时，即点N到达H时，|ON�|有最小值，且∠OAH＝θ，从而sinθ＝＝，故θ＝或θ＝(根据对称性可知钝角也可以)．答案：或π三、解答题(共3个小题，满分35分)用心爱心专心210．设e1，e2是两个不共线向量，已知AB�＝2e1＋ke2，CB�＝e1＋3e2，CD�＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求实数k的值．解：∵CB�＝e1＋3e2，CD�＝2e1－e2，∴CB�＝CD�－CB�＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.∵A、B、D三点共线，∴AB�∥CD�，∴AB�＝λBD�.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.又e1，e2是两个不共线向量，∴∴k＝－8.11．如图，已知在▱ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝BC，设AB�＝a，AD�＝b，试用a，b分别表示AM�、MH�、AF�.解：AM�＝AD�＋DC�＋CM�＝b＋a＋BC�＝a＋b－b＝a＋b，MH�＝MC�＋CD�＋DH�＝BC�＋BA�＋DA�＝b－a＋(－b)＝－b－a，AF�＝AB�＋BF�＝AB�＋BC�＝a＋b.12．(2011·济南模拟)已知△ABC中，AB�＝a，AC�＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OP�＝OA�＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．解：依题意，由OP�＝OA�＋λa＋λb，得OP�－OA�＝λ(a＋b)，即AP�＝λ(AB�＋AC�)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则AP�＝λAD�，∴A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点．用心爱心专心3
