4.3两角和与差、二倍角的公式（二）【知识点】1.在公式S（α+β）、C（α+β）、T（α+β）中，当α=β时，就可得到公式S2α、C2α、T2α，在公式S2α、C2α中角α没有限制在T2α中，只有当α≠+且α≠kπ+时，公式才成立.2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α.变形公式sin2α=，cos2α=.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用.【基础类题目】1.下列各式中，值为的是A.sin15°cos15°B.2cos2－1C.D.解析：=tan45°=.答案：D2．已知sin+cos=，那么sinθ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin+cos=，得1+sinθ=，sinθ=，cos2θ=1－2sin2θ=1－2·=.答案：3．已知f（x）=，当θ∈（，）时，f（sin2θ）－f（－sin2θ）可化简为A.2sinθB.－2cosθC.－2sinθD.2cosθ解析：f（sin2θ）－f（－sin2θ）=－=｜sinθ－cosθ｜－｜sinθ+cosθ｜. θ∈（，），∴－1＜sinθ＜－＜cosθ＜0.∴cosθ－sinθ＞0，cosθ+sinθ＜0.∴原式=cosθ－sinθ+cosθ+sinθ=2cosθ.答案：D4．已知sin（x－）cos（x－）=－，求cos4x的值.剖析：4x为2x的二倍角，2x为x的二倍角.第1页共7页解：由已知得sin（x－－）cos（x－）=－，∴cos2（x－）=.∴sin2x=cos（－2x）=2cos2（－x）－1=－.∴cos4x=1－2sin22x=1－=－.5．若8cos（+α）cos（－α）=1，则sin4α+cos4α=_______.解析：由已知得8sin（－α）cos（－α）=1，∴4sin（－2α）=1.∴cos2α=.sin4α+cos4α=（sin2α+cos2α）2－2sin2αcos2α=1－sin22α=1－（1－cos22α）=1－（1－）=1－×=.答案：6．已知α为第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2α+cos2α的值.解：由cos+sin=－平方得1+2sincos=，即sinα=，cosα=－.此时kπ+＜＜kπ+. cos+sin=－＜0，sincos=＞0，∴cos＜0，sin＜0.∴为第三象限角.∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.∴sin＜cos，即sin－cos＜0.第2页共7页∴sin－cos=－=－，sin2α+cos2α=2sinαcosα+1－2sin2α=.评述：由三角函数值判断的范围是关键.【提高类题目】7．若tanx=，则=_______.解析：原式=====2－3.答案：2－38．已知0＜α＜，tan+cot=，求sin（α－）的值.解：由已知tan+cot==，得sinα=. 0＜α＜，∴cosα==.从而sin（α－）=sinα·cos－cosα·sin=×－×=（4－3）.9．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a、b、c的大小关系是A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.b＜a＜c解析：a=sin59°，c=sin60°，b=sin61°，∴a＜c＜b.答案：B10．若f（tanx）=sin2x，则f（－1）的值是A.－sin2B.－1C.D.1解析：f（－1）=f［tan（－）］=－sin=－1.答案：B11．化简.解：原式==第3页共7页====tan.12．化简=_________.解析：==|sin4－cos4|=sin4－cos4.答案：sin4－cos413．已知sin（－x）=，0＜x＜，求的值.分析：角之间的关系：（－x）+（+x）=及－2x=2（－x），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解： （－x）+（+x）=，∴cos（+x）=sin（－x）.又cos2x=sin（－2x）=sin2（－x）=2sin（－x）cos（－x），∴=2cos（－x）=2×=.14．已知sin2α=，α∈（，）.（1）求cosα的值；（2）求满足sin（α－x）－sin（α+x）+2cosα=－的锐角x.解：（1）因为＜α＜，所以＜2α＜3π.所以cos2α=－=－.由cos2α=2cos2α－1，所以cosα=－.（2）因为sin（α－x）－sin（α+x）+2cosα=－，第4页共7页所以2cosα（1－sinx）=－.所以sinx=.因为x为锐角，所以x=.15．已知tan（+α）=2，求：（1）tanα的值；（2）sin2α+sin2α+cos2α的值.（1）解：tan（+α）==2，∴tanα=.（2）解法一：sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α－sin2α=2sinαcosα+cos2α====.解法二：sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α－sin2α=2sinαcosα+cos2α.① tanα=，∴α为第一象限或第三象限角.当α为第一象限角时，sinα=，cosα=，代入①得2sinαcosα+cos2α=；当α为第三象限角时，sinα=－，cosα=－，代入①得2sinαcosα+cos2α=.综上所述sin2α+sin2α+cos2α=.16．设cos（α－）=－，sin（－β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）.剖析：=（α...
