4.3两角和与差、二倍角的公式(二)【知识点】1.在公式S(α+β)、C(α+β)、T(α+β)中,当α=β时,就可得到公式S2α、C2α、T2α,在公式S2α、C2α中角α没有限制在T2α中,只有当α≠+且α≠kπ+时,公式才成立.2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.变形公式sin2α=,cos2α=.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用.【基础类题目】1.下列各式中,值为的是A.sin15°cos15°B.2cos2-1C.D.解析:=tan45°=.答案:D2.已知sin+cos=,那么sinθ的值为____________,cos2θ的值为____________.解析:由sin+cos=,得1+sinθ=,sinθ=,cos2θ=1-2sin2θ=1-2·=.答案:3.已知f(x)=,当θ∈(,)时,f(sin2θ)-f(-sin2θ)可化简为A.2sinθB.-2cosθC.-2sinθD.2cosθ解析:f(sin2θ)-f(-sin2θ)=-=|sinθ-cosθ|-|sinθ+cosθ|. θ∈(,),∴-1<sinθ<-<cosθ<0.∴cosθ-sinθ>0,cosθ+sinθ<0.∴原式=cosθ-sinθ+cosθ+sinθ=2cosθ.答案:D4.已知sin(x-)cos(x-)=-,求cos4x的值.剖析:4x为2x的二倍角,2x为x的二倍角.第1页共7页解:由已知得sin(x--)cos(x-)=-,∴cos2(x-)=.∴sin2x=cos(-2x)=2cos2(-x)-1=-.∴cos4x=1-2sin22x=1-=-.5.若8cos(+α)cos(-α)=1,则sin4α+cos4α=_______.解析:由已知得8sin(-α)cos(-α)=1,∴4sin(-2α)=1.∴cos2α=.sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-sin22α=1-(1-cos22α)=1-(1-)=1-×=.答案:6.已知α为第二象限角,cos+sin=-,求sin-cos和sin2α+cos2α的值.解:由cos+sin=-平方得1+2sincos=,即sinα=,cosα=-.此时kπ+<<kπ+. cos+sin=-<0,sincos=>0,∴cos<0,sin<0.∴为第三象限角.∴2kπ+<<2kπ+,k∈Z.∴sin<cos,即sin-cos<0.第2页共7页∴sin-cos=-=-,sin2α+cos2α=2sinαcosα+1-2sin2α=.评述:由三角函数值判断的范围是关键.【提高类题目】7.若tanx=,则=_______.解析:原式=====2-3.答案:2-38.已知0<α<,tan+cot=,求sin(α-)的值.解:由已知tan+cot==,得sinα=. 0<α<,∴cosα==.从而sin(α-)=sinα·cos-cosα·sin=×-×=(4-3).9.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=,则a、b、c的大小关系是A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c解析:a=sin59°,c=sin60°,b=sin61°,∴a<c<b.答案:B10.若f(tanx)=sin2x,则f(-1)的值是A.-sin2B.-1C.D.1解析:f(-1)=f[tan(-)]=-sin=-1.答案:B11.化简.解:原式==第3页共7页====tan.12.化简=_________.解析:==|sin4-cos4|=sin4-cos4.答案:sin4-cos413.已知sin(-x)=,0<x<,求的值.分析:角之间的关系:(-x)+(+x)=及-2x=2(-x),利用余角间的三角函数的关系便可求之.解: (-x)+(+x)=,∴cos(+x)=sin(-x).又cos2x=sin(-2x)=sin2(-x)=2sin(-x)cos(-x),∴=2cos(-x)=2×=.14.已知sin2α=,α∈(,).(1)求cosα的值;(2)求满足sin(α-x)-sin(α+x)+2cosα=-的锐角x.解:(1)因为<α<,所以<2α<3π.所以cos2α=-=-.由cos2α=2cos2α-1,所以cosα=-.(2)因为sin(α-x)-sin(α+x)+2cosα=-,第4页共7页所以2cosα(1-sinx)=-.所以sinx=.因为x为锐角,所以x=.15.已知tan(+α)=2,求:(1)tanα的值;(2)sin2α+sin2α+cos2α的值.(1)解:tan(+α)==2,∴tanα=.(2)解法一:sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α-sin2α=2sinαcosα+cos2α====.解法二:sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α-sin2α=2sinαcosα+cos2α.① tanα=,∴α为第一象限或第三象限角.当α为第一象限角时,sinα=,cosα=,代入①得2sinαcosα+cos2α=;当α为第三象限角时,sinα=-,cosα=-,代入①得2sinαcosα+cos2α=.综上所述sin2α+sin2α+cos2α=.16.设cos(α-)=-,sin(-β)=,且<α<π,0<β<,求cos(α+β).剖析:=(α...