θMAOP任意角的三角函数教学设计福建师大附中张春晓一、教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张.引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程.二、教学目标知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用.情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性.重点:任意角三角函数的定义.难点：任意角三角函数概念的建构过程.三、教学流程1．复习通过对任意角的概念的学习，你认为它与初中角的概念有什么区别？设计意图对任意角概念的理解是学习本节课的基础.2．创设情境、引出主题问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为,它的直径为，逆时针方向做匀速转动，转动一周需要秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点出发，求相对于地面的高度与时间的函数关系式.师：让我们一起分析一下，在整个运动过程中，高度是怎样变化的?师生：开始高度先渐渐增高至最高点，再渐渐降低至最低点，再渐渐升高，最后回到初始位置；第二周，第三周，…，周而复始，呈现周期现象.设计意图以解决实际问题为背景，引入任意角三角函数概念，突出研究问题的“周期性”特点.师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？让我们先从特殊情形入手.例如，过了20s后，人距离地面的高度是多少？生：.师：你能对这个式子做一解释吗？生：表示水平位置距离地面的高度，表示距离水平位置的高度，即.师：如果过了s呢？对上面式子做怎样修改？1yxα|OP|=rtanα=yxcosα=xrsinα=yrOP(x,y)师生：将换成，即：.一般地，过了秒呢？猜想:师：这样猜想合情，但合理吗？随着摩天轮的转动，从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角，该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数.设计意图为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，让学生感受到接下来学习新知识的必要性.3．概念生成师：当在水平但位置上方时，；当在水平位置下方时，，即：与相比较，要想两者和谐统一，必须有：，即：.师生小结：当点在圆周上运动时，随之变化，任一个，对应着唯一点，进而有唯一，得到：.师：不过这样表述时，还是不够简洁,何时取正值，何时取负值？能否用一个量去代替，使上述表示形式更简单？它的绝对值与的长度相等，符号在上方表示正的，下方表示负的.生:引入直角坐标系，用点的纵坐标来替代或.设计意图让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的.师：接下来，我们把角放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为做圆，与角的终边交于点，假设点坐标为，利用我们刚才对上述问题的分析，这里，.师：当是锐角时，此规定与初中规定是否吻合？生：吻合，利用初中对锐角三角函数定义，，即，即.师：三角函数只有这一个吗？生：还有余弦，正切.师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？生：，师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？生：是的，任意给定角，其终边唯一确定，终边与圆的交点就唯一确定，比值随之唯一...
