高考数学 热门考点与解题技巧 考点9 排列组合-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点9排列组合热门题型题型1分类加法计数原理与分步乘法计数原理题型2排列数与组合数的计算题型3与排列相关的常见问题题型4与组合相关的常见问题题型5排列组合的综合应用题型1分类加法计数原理与分步乘法计数原理例1(1)设x，y∈N*，直角坐标平面中的点为P(x，y)．①若x＋y≤6，这样的P点有________个．②若1≤x≤4，1≤y≤5，这样的P点又有________个．(2)全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？(3)已知a∈{－1，2，3}，b∈{0，1，3，4}，r∈{1，2}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2所表示的不同的圆的个数有________．（2）方法一：按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．方法二：按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．（3） a∈{－1，2，3}，∴a有3种方法，同理b的取法有4种，r有2种，又只有a，b，r依次确定后，才能确定圆，∴共有3×4×2＝24个不同的圆．【解题技巧】利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问题是分类，还是分步，必须由题而定．如(1)①题中完成这件事分5类即可；(3)题中完成这件事，需分三步，这三步完成后这件事才算告终．变式1.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）.A.24B.18C.12D.9解析从的最短路径有种走法，从的最短路径有种走法，由乘法原理知，共种走法.选B．题型2排列数与组合数的计算例2.（2016江苏23）（1）求的值；（2）设，，求证：．所以左边右边．证法二（数学归纳法）：对任意的，①当时，左边，右边，等式成立.②假设时命题成立，即，当时，左边.因此，因此左边右边，因此时命题也成立．综合①②可得命题对任意均成立．评注本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型．组合数的运算性质不仅有，，，而且还有此题中出现的，这些不需记忆，但需会推导，平时善于总结才是突破此类问题的核心．题型3与排列相关的常见问题例3有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．解析：(1)从7个人中选5个人来排，是排列．有A75＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73·A44＝5040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)(优先法)(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，故共有A44×A53＝1440种．(6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间，有A53种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法．故共有A22·A53·A33＝720种．(7)(消序法)＝2520.(8)(间接法)A77－2A66＋A55＝3720.位置分析法：分甲在排尾与不在排尾两类．【解题技巧】求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把某些元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题...