考点测试55曲线与方程一、基础小题1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对答案C解析(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔∴或2．点A、B分别为圆M：x2＋(y－3)2＝1与圆N：(x－3)2＋(y－8)2＝4上的动点，点C在直线x＋y＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．7B．8C．9D．10答案A解析设M(0,3)关于直线x＋y＝0的对称点为P(－3,0)，且N(3,8)，∴|AC|＋|BC|≥|PN|－1－2＝－3＝7.3．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线答案D解析由已知得|MF|＝|MB|.由抛物线定义知点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．4．与圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在()A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上答案B解析圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知动圆的圆心在双曲线的一支上．5．|y|－1＝表示的曲线是()A．抛物线B．一个圆C．两个圆D．两个半圆答案D解析原方程等价于⇒⇒或故选D.6．动点P为椭圆＋＝1(a>b>0)上异于椭圆顶点A(a,0)，B(－a,0)的一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，动圆M与线段F1P，F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的()A．一条直线B．双曲线的右支C．抛物线D．椭圆答案A解析如图，画出圆M，设切点分别为E，G，D，由切线长定理知|F1G|＝|F1E|，|PD|＝|PE|，|F2D|＝|F2G|，根据椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＋|PF2|＝|F1E|＋|DF2|＝|F1G|＋|F2D|＝|F1G|＋|F2G|＝2a，∴2|F2G|＝2a－2c，即|F2G|＝a－c，∴点G与点A重合，∴点M在x轴上的射影是长轴的端点A，∴点M的轨迹是垂直于x轴的一条直线(除去点A)，故选A.7．设F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．答案x2＋y2＝4解析由题意，延长F1D、F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，∴|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O(O为坐标原点)为F1F2的中点，连接DO，∴OD∥F2B，从而可知|DO|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4，∴点D的轨迹方程为x2＋y2＝4.8．点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，则圆心M的轨迹方程为________．答案＋＝1解析已知圆为(x－3)2＋y2＝64，其圆心C(3,0)，半径为8，由于动圆M过P点，所以|MP|等于动圆的半径r，即|MP|＝r.又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差，即|MC|＝8－r，从而有|MC|＝8－|MP|，即|MC|＋|MP|＝8.根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆，并且2a＝8，a＝4；2c＝6，c＝3；b2＝16－9＝7，因此M点的轨迹方程为＋＝1.二、高考小题9．[2015·广东高考]已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案C解析由已知得解得故b＝3，从而所求的双曲线方程为－＝1，故选C.10．[2015·安徽高考]下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－＝1B.－y2＝1C.－x2＝1D．y2－＝1答案C解析由于焦点在y轴上，故排除A、B.由于渐近线方程为y＝±2x，故排除D.故选C.11．[2015·天津高考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案D解析由题意知点(2，)在渐近线y＝x上，所以＝，又因为抛物线的准线为x＝－，所以c＝，故a2＋b2＝7，所以a＝2，b＝.故双曲线的方程为－＝1.选D.12．[2014·大纲卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1答案A解析由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A.三、模拟小题13．[2016·天津津南调研]平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－...
