第3讲圆的方程一、选择题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4解析AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝＝2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案A2．(2017·合肥模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.答案A3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪B.C．(－2,0)D.解析方程为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.答案D4．(2017·淄博调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案A5．(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.解析由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y－＝，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为＝.故选B.答案B二、填空题6．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．解析设圆心C坐标为(2，b)(b<0)，则|b|＋1＝.解得b＝－，半径r＝|b|＋1＝，故圆C的方程为：(x－2)2＋2＝.答案(x－2)2＋2＝7．(2017·广州模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________．解析圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大．答案(0，－1)8．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)， kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.答案x＋y－1＝0三、解答题9．已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．解l2平行于x轴，l1与l3互相垂直．三交点A，B，C连线构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．解方程组得所以点A的坐标是(－2，－1)．解方程组得所以点B的坐标是(1，－1)．线段AB的中点坐标是，又|AB|＝＝3.故所求圆的标准方程是2＋(y＋1)2＝.10．在△ABC中，已知|BC|＝2，且＝m，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解如图，以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，建立直角坐标系．则有B(－1,0)，C(1,0)，设点A的坐标为(x，y)．由＝m，得＝m.整理得(m2－1)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x＋(m2－1)＝0.①当m2＝1时，m＝1，方程是x＝0，轨迹是y轴．当m2≠1时，对①式配方，得2＋y2＝.所以，点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆(除去圆与BC的交点)．11．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为()A．1B．5C．4D．3＋2解析由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．∴＋的最小值为3＋2.答案D12．已知圆心(a，b)(a＜0，b＜0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，则圆的方程为()A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝9B．(x＋3)2＋(y＋5)2＝25C．(x＋6)2＋2＝D.2＋2＝解析由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x轴相切，由题意得圆的半径为|b|，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由圆心在直线y＝2x＋1上，得b＝2a＋1①，由此圆在y轴上截得的弦长为2，得b2－a2＝5②，由①②得或(舍去)．所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝9.故选A.答案A13．已知圆C：(x－3)2...
