课下层级训练(四十七)直线与椭圆的综合问题[A级基础强化训练]1．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A．＋y2＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1【答案】C[设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.]2．(2019·山东枣庄检测)过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A．B．C．D．【答案】B[由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点坐标为(0，－2)，，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.]3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是()A．B．C．D．【答案】C[设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得＝，e＝＝.]4．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为()A．B．C．D．【答案】A[由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，∴＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝，|PF2|＝.根据勾股定理得2＋2＝(2c)2，所以离心率e＝＝.]5．(2019·山东济宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝()A．60°B．90°C．120°D．150°【答案】B[由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立，消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，从而y＝x＋a交x轴于点A(－，0)，又F(c,0)，易知BA·BF＝0，故∠ABF＝90°.]6．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝____________．【答案】12[设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×2a＝4a＝12.]7．P为椭圆＋＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则PA·PB的取值范围是______________．【答案】[3,15][圆心C(1,0)为椭圆的右焦点，PA·PB＝(PC＋CA)·(PC＋CB)＝(PC＋CA)·(PC－CA)＝PC2－CA2＝|PC|2－1，显然|PC|∈[a－c，a＋c]＝[2,4]，所以PA·PB＝|PC|2－1∈[3,15]．]8．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________________．【答案】－1[直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2．在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.]9．(2019·山东济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．【答案】解(1)由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1．(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，Δ＝96－8m2>0，∴－2
