专题限时集训(十六)选修4－5不等式选讲(建议用时：40分钟)1．(2019·咸阳三模)设函数f(x)＝|2x－4|＋1.(1)求不等式f(x)≥x＋3的解集；(2)关于x的不等式f(x)－2|x＋2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．[解](1)f(x)≥x＋3，即|2x－4|＋1≥x＋3，则2|x－2|≥x＋2，当x≥2时，解得x≥6，当x<2时，解得x≤，所以原不等式的解集为∪[6，＋∞)．(2)由不等式f(x)－2|x＋2|≥a在实数范围内有解可得：a≤2|x－2|－2|x＋2|＋1在实数范围内有解，令g(x)＝2|x－2|－2|x＋2|＋1，则a≤g(x)min，因为g(x)＝2|x－2|－2|x＋2|＋1≥2|(x－2)－(x＋2)|＋1＝9，所以a≤g(x)min＝9，即a∈(－∞，9]．2．(2019·郑州二模)设函数f(x)＝|ax＋1|＋|x－a|(a>0)，g(x)＝x2－x.(1)当a＝1时，求不等式g(x)≥f(x)的解集；(2)已知f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，g(x)≥f(x)⇔或或解得x≤－1或x≥3，所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥3}．(2)f(x)＝当0
1时，f(x)min＝f＝a＋＞2，a>1，综上，a的取值范围是[1，＋∞)．3．(2019·潍坊二模)已知函数f(x)＝|ax－2|，不等式f(x)≤4的解集为{x|－2≤x≤6}．(1)求实数a的值；(2)设g(x)＝f(x)＋f(x＋3)，若存在x∈R，使g(x)－tx≤2成立，求实数t的取值范围．[解](1)由|ax－2|≤4得－4≤ax－2≤4，即－2≤ax≤6，当a>0时，－≤x≤，所以解得a＝1；当a<0时，≤x≤－，所以无解，所以实数a的值为1.(2)由已知g(x)＝f(x)＋f(x＋3)＝|x＋1|＋|x－2|＝不等式g(x)－tx≤2，即g(x)≤tx＋2，由题意知y＝g(x)的图象有一部分在直线y＝tx＋2的下方，作出对应图象：由图可知，当t<0时，t≤kEM；当t>0时，t≥kFM，又因为kEM＝－1，kFM＝，所以t≤－1或t≥，即t∈(－∞，－1]∪.4．(2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.[解](1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)·(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.题号内容押题依据1绝对值不等式的解法、不等式的证明本题考查考生绝对值不等式的解法及用分析法证明不等式问题，考查了逻辑推理、数学运算等核心素养2绝对值不等式的解法与绝对值有关的函数最值问题本题考查了绝对值不等式的解法及函数最值问题，考查分类讨论思想、转化思想及数学运算等核心素养【押题1】已知函数f(x)＝|x＋|－|2x＋|＋，M为不等式f(x)<0的解集．(1)求M；(2)证明：当m，n∈M时，|mn＋2|>|m＋n|.[解](1)∵f(x)<0，∴|x＋|－|2x＋|＋<0.当x<－时，不等式可化为－x－＋(2x＋)＋<0，解得x<－，∴x<－；当－≤x≤－时，不等式可化为x＋＋(2x＋)＋<0，解得x<－，无解；当x>－时，不等式可化为x＋－(2x＋)＋<0，解得x>，∴x>.综上所述，M＝{x|x<－或x>}．(2)要证|mn＋2|>|m＋n|，即证|mn＋2|2>2|m＋n|2，即证m2n2－2m2－2n2＋4>0，即证(m2－2)(n2－2)>0.由(1)知，M＝{x|x<－或x>}，且m，n∈M，∴m2>2，n2>2，∴(m2－2)(n2－2)>0成立，故|mn＋2|>|m＋n|得证．【押题2】设函数f(x)＝|ax＋1|.(1)当a＝1时，解不等式f(x)＋2x>2；(2)当a>1时，设g(x)＝f(x)＋|x＋1|，若g(x)的最小值为，求实数a的值．[解](1)当a＝1时，f(x)＋2x>2，即|x＋1|>2－2x，所以或解得x>，故原不等式的解集为.(2)当a>1时，－1<－，g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝由于函数g(x)在上递减，在上递增，则g(x)min＝g＝1－，从而1－＝，得a＝2.
