高中数学 第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换（二）课时素养评价（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题VIP免费

简单的三角恒等变换(二)(15分钟35分)1.设sin=，则sin2θ=()A.-B.-C.D.【解析】选A.sin2θ=-cos=2sin2-1=2×-1=-.2.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cosα=.又β=-，所以cosβ=cos=sin==.3.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=，则函数g=asinx+cosx的最大值是()A.B.C.D.【解析】选B.由于函数f(x)的图象关于x=对称，则f(0)=f，所以a=--，所以a=-，所以g(x)=-sinx+cosx=sin，所以g(x)max=.【补偿训练】函数f(x)=sinx-cos的值域为()A.B.C.D.【解析】选B.f(x)=sinx-cos=sinx-cosx=sin，所以f(x)∈.4.函数y=cos2+sin2-1的最小正周期为_______.【解析】y=cos2+sin2-1=+-1==sin2x，所以T==π.答案：π【补偿训练】函数y=的最小正周期等于()A.B.πC.2πD.3π【解析】选C.y==tan，T==2π.5.如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，正三角形ABC的三个顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长等于_______.【解析】设其边长为a，AB与l2的夹角为θ，易知1=asinθ，2=asin，所以2sinθ=sin，即cosθ-sinθ=0，可得tanθ=，所以sinθ=，所以a==.答案：6.已知tan(α+β)=λtan(α-β)，其中λ≠1，求证：=.【证明】=====.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.已知sin=，则cos2的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为sin=，则cos2=cos2=sin2=.2.若函数f(x)=5cosx+12sinx在x=θ时取得最小值，则cosθ等于()A.B.-C.D.-【解析】选B.f(x)=5cosx+12sinx=13=13sin(x+α)，其中sinα=，cosα=，由题意知θ+α=2kπ-(k∈Z)，得θ=2kπ--α(k∈Z)，所以cosθ=cos=cos=-sinα=-.3.已知f(x)=sin2，若a=f，b=f，则()A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=1【解析】选C.a=f=sin2==，b=f=sin2==，则可得a+b=1.4.已知a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2满足f=f(0)，则当x∈时，f(x)的值域为()A.B.C.D.【解析】选D.由题意得f(x)=sin2x-+=sin2x-cos2x.又f=f(0)，所以a=2，所以f(x)=sin2x-cos2x=2sin，所以当x∈时，2x-∈，f(x)∈.【补偿训练】若函数f(x)=cosx，0≤x<，则f(x)的最大值是()A.1B.2C.+1D.+2【解析】选B.f(x)=cosx=cosx=sinx+cosx=2sin.因为0≤x<，所以≤x+<π，所以当x+=时，f(x)取到最大值2.二、多选题(共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.函数y=cos+sin具有性质()A.最大值为B.最大值为1C.图象关于对称D.图象关于直线x=-对称【解析】选BD.y=cos+sin=-sinx+cosx+sinx=cosx-sinx=cos，所以函数的最大值为1，令x+=0，求得x=-，可得函数图象关于直线x=-对称.6.已知cos·cos=，θ∈，则()A.sin2θ=B.sin2θ=-C.sinθ+cosθ=-D.sinθ+cosθ=【解析】选BC.cos·cos=sincos=sin=cos2θ=，所以cos2θ=.因为θ∈，所以2θ∈，所以sin2θ=-，且sinθ+cosθ<0.所以(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=1-=.所以sinθ+cosθ=-.三、填空题(每小题5分，共10分)7.函数f(x)=sinx+cosx的单调递增区间为_______，已知sinα=，且α∈，则f=_______.【解析】f(x)=sinx+cosx=sin，当2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈Z，即2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z时，函数f(x)单调递增，所以f(x)的递增区间是，k∈Z.因为sinα=，α∈，所以cosα=，所以f=sin=sin=sinα+cosα=×+×=.答案：，k∈Z8.在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于_______.【解析】由题意知5cosθ-5sinθ=1，θ∈.所以cosθ-sinθ=.因为(cosθ+sinθ)2+(cosθ-sinθ)2=2，所以cosθ+sinθ=，所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=.答案：【补偿训练】如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x=_______来截.【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则=，=，又a=GC+CF=bsinx+bcosx，所以...