中档题满分练(一)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且2cos2cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－.(1)求cosA的值；(2)若a＝4，b＝5，求B和c.2．(2015·金华模拟)已知函数f(x)＝x2＋3|x－a|(a>0，记f(x)在[－1，1]上的最小值为g(a)．(1)求g(a)的表达式；(2)若对x∈[－1，1]，恒有f(x)≤g(a)＋m成立，求实数m的取值范围．3.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，且交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D－AF－E的余弦值．4．(2015·济南模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且满足2Sn＋1＝4Sn＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)当1≤i≤n，1≤j≤n(i，j，n均为正整数)，求如下图所示ai和aj的所有可能的乘积aiaj之和．a1a1，a1a2，a1a3，…，a1ana2a1，a2a2，a2a3，…，a2an…ana1，ana2，ana3，…，anan1中档题满分练(一)1．解(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－.即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，则cos(A－B＋B)＝－.因此，cosA＝－.(2)由cosA＝－，0＜A＜π，得sinA＝，由正弦定理，有＝，a＝4，b＝5，所以sinB＝＝.由题知a＞b，则A＞B，故B＝.根据余弦定理有(4)2＝52＋c2－2×5c×，整理得c2＋6c－7＝0，解得c＝1或c＝－7(舍去)．2．解(1)f(x)＝∵a>0，－1≤x≤1，①0
1时，f(x)在上递减，则g(a)＝f(1)＝3a－2.则有g(a)＝(2)令h(x)＝f(x)－g(a)，①01时，g(a)＝3a－2，h(x)＝x2－3x＋2≤h(－1)＝6，综上可得，h(x)＝f(x)－g(a)在a>0，－1≤x≤1上的最大值为6.即有h(x)≤m恒成立，即m≥6.则m的取值范围是[6，＋∞)．3．(1)证明∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD.在正方形ABCD中，CD⊥AD，PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD，则AD⊥PC.又AF⊥PC，AF∩AD＝A，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF.2(2)解设AB＝1，则Rt△PDC中，CD＝1，又∠DPC＝30°，∴PC＝2，PD＝，由(1)知CF⊥DF.∴DF＝，AF＝＝.∴CF＝＝，又FE∥CD，∴＝＝，则DE＝.同理EF＝CD＝.如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0，0，1)，E，F，P(，0，0)，C(0，1，0)．设m＝(x，y，z)是平面AEF的法向量，则又所以令x＝4，则z＝，m＝(4，0，)．由(1)知平面ADF的一个法向量PC＝(－，1，0)．设二面角D－AF－E的平面角为θ，可知θ为锐角．cosθ＝|cos〈m，PC〉|＝＝＝.∴二面角D－AF－E的余弦值为.4．解(1)∵2Sn＋1＝4Sn＋1(n∈N*)，∴2Sn＝4Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)．两式相减，得an＋1＝2an，即＝2(n≥2)．由2S2＝4S1＋1，得2(a1＋a2)＝4a1＋1，又a1＝，∴a2＝1，则＝2，因此数列{an}是首项为，公比为2的等比数列．所以an＝a1·qn－1＝×2n－1＝2n－2.(2)由(1)知，aiaj＝2i＋j－4(1≤i，j≤n)．则构成的图表为：21＋1－4，21＋2－4，21＋3－4，…，21＋n－422＋1－4，22＋2－4，22＋3－4，…，22＋n－423＋1－4，23＋2－4，23＋3－4，…，23＋n－4……2n＋1－4，2n＋2－4，2n＋3－4，…，2n＋n－4设上表第一行的和为T1，则T1＝＝(2n－1)．故各项的和T＝T1(1＋2＋22＋…＋2n－1)3＝(2n－1)·＝(2n－1)2.4
