第2课时综合法A．基础巩固1．(2017年山东)若a＞b＞0且ab＝1，则下列不等式成立的是()A．a＋＜＜log2(a＋b)B．＜log2(a＋b)＜a＋C．a＋＜log2(a＋b)＜D．log2(a＋b)＜a＋＜【答案】B【解析】因为a＞b＞0且ab＝1，所以a＞1,0＜b＜1，所以＜1，log2(a＋b)＞log22＝1,2a＋＞a＋＞a＋b⇒a＋＞log2(a＋b)．故选B．2．如果0＜m＜b＜a，那么()A．cos＜cos＜cosB．cos＜cos＜cosC．cos＜cos＜cosD．cos＜cos＜cos【答案】A【解析】∵0＜m＜b＜a，∴－＝＞0，－＝＞0，且，，∈(0,1)，∴cos＜cos＜cos.故选A．3．若x＞0，y＞0且x＋y≤4，那么＋≥()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】因为x＞0，y＞0，所以＋＝≥＝≥＝1.4．若a，b，c∈R且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为()A．1B．C．D．0【答案】C【解析】∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c＝时，a2＋b2＋c2有最小值.5．如果不等式|b－a|＜1成立的充分不必要条件是＜b＜，则实数a的取值范围是______________．【答案】【解析】由|b－a|＜1得a－1＜b＜a＋1.因为|b－a|＜1成立的充分不必要条件是＜b＜，所以a－1≤且a＋1≥，解得≤a≤.6．已知a，b，c是△ABC的三边，且a3＋b3＋c3＝3abc，则△ABC的形状为____________．【答案】等边三角形【解析】因为a，b，c均大于0，所以a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，a3＋b3＋c3＝3abc成立．所以△ABC为等边三角形．7．设a，b，c∈R＋，求证：＋＋＋abc≥2.【解析】因为a>0,b>0,c>0，由平均值不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥，所以＋＋＋abc≥＋abc≥2＝2.故＋＋＋abc≥2，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．B．能力提升8.(2018年盐城模拟)已知a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1.求证：(1)a2＋b2＋c2≥；(2)＋＋≤6.【证明】(1)a2＋b2＋c2－＝(3a2＋3b2＋3c2－1)＝[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2]1＝(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，∴a2＋b2＋c2≥.(2)∵＝≤＝，同理≤，≤，∴＋＋≤＝6，∴原不等式成立.2
