课时作业(二十)第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切时间/45分钟分值/100分基础热身1.sin40°cos40°cos10°=()A.❑√32B.12C.❑√2D.❑√32.[2018·安徽皖北协作区联考]已知角α终边上一点P的坐标为(-1,2),则cos2α=()A.-45B.45C.35D.-353.计算1tan15°-tan15°的值为()A.3B.4C.❑√3D.2❑√34.已知cosπ4-x=35,则sin2x的值为()A.1625B.725C.-725D.-16255.已知α是第二象限角,且sin(π+α)=-13,则tan2α=.能力提升6.函数f(x)=(❑√3sinx+cosx)(❑√3cosx-sinx)的最大值是()A.2❑√3B.3C.2D.47.若θ∈π4,π2,sin2θ=3❑√78,则sinθ=()A.35B.45C.❑√74D.348.[2018·南昌一模]已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α-13°)=()A.12B.❑√32C.-12D.-❑√329.[2018·安徽芜湖一模]若❑√2cos2θcos(π4+θ)=❑√3sin2θ,则sin2θ=()A.23B.13C.-23D.-1310.[2018·河北邯郸模拟]已知❑√3sinα-cosα=43,则cosα+π3+sinα+5π6=()A.0B.43C.-43D.2311.若sinx-3π4cosx-π4=-14,则cos4x=.12.❑√3cos10°-1sin170°=.13.[2018·江苏苏锡常镇5月调研]已知α是第二象限角,且sinα=3❑√10,tan(α+β)=-2,则tanβ=.14.(12分)[2018·东北师大附中三模]已知tanα+π4=2,α∈0,π2.(1)求tanα的值;(2)求sin2α-π3的值.15.(13分)[2018·常州期末]已知α,β均为锐角,且sinα=35,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cosβ的值.难点突破16.(5分)如图K20-1所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=()图K20-1A.3❑√1010B.❑√1010C.❑√510D.❑√51517.(5分)已知sinθ-3cosθ=❑√10,则tanθ-π4=.课时作业(二十)1.B[解析]sin40°cos40°cos10°=sin80°2cos10°=cos10°2cos10°=12.故选B.2.D[解析]x=-1,y=2,r=❑√5,所以cosα=xr=-1❑√5,则cos2α=2cos2α-1=2×15-1=-35.故选D.3.D[解析]1tan15°-tan15°=cos15°sin15°-sin15°cos15°=cos215°−sin215°sin15°cos15°=2cos30°sin30°=2❑√3.故选D.4.C[解析]因为sin2x=cosπ2-2x=cos2π4-x=2cos2π4-x-1,所以sin2x=2×352-1=-725.故选C.5.-4❑√27[解析]由题知sinα=13,cosα=-2❑√23,则tanα=-12❑√2,所以tan2α=2tanα1−tan2α=-4❑√27.6.C[解析]f(x)=(❑√3sinx+cosx)(❑√3cosx-sinx)=4sinx+π6cosx+π6=2sin2x+π3,所以f(x)的最大值为2,故选C.7.D[解析]因为θ∈π4,π2,所以2θ∈π2,π,则cos2θ<0,sinθ>0.因为sin2θ=3❑√78,所以cos2θ=-❑√1−sin22θ=-18.又因为cos2θ=1-2sin2θ,所以sinθ=❑√1−cos2θ2=34.故选D.8.A[解析]由三角函数的定义知sinα=cos47°❑√sin247°+cos247°=cos47°,cosα=sin47°❑√sin247°+cos247°=sin47°,所以sin(α-13°)=sinαcos13°-cosαsin13°=cos47°cos13°-sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=12.故选A.9.C[解析]❑√2cos2θcos(π4+θ)=2¿¿=❑√3sin2θ,所以2(cosθ+sinθ)=❑√3sin2θ,两边平方得4+4sin2θ=3sin22θ,解得sin2θ=-23或sin2θ=2(舍去).故选C.10.C[解析]由❑√3sinα-cosα=43得sinα-π6=23,cosα+π3+sinα+5π6=cosπ2+α-π6+sinπ+α-π6=-2sinα-π6=-43.故选C.11.12[解析]因为sinx-3π4=-cosπ2+x-3π4=-cosx-π4,所以cos2x-π4=14,所以1+cos(2x-π2)2=14,所以cos2x-π2=-12,即sin2x=-12,所以cos4x=1-2sin22x=12.12.-4[解析]❑√3cos10°-1sin170°=❑√3cos10°-1sin10°=❑√3sin10°−cos10°sin10°cos10°=2sin(10°−30°)12sin20°=-2sin20°12sin20°=-4.13.17[解析]由α是第二象限角,且sinα=3❑√10,得cosα=-1❑√10,则tanα=-3,所以tanβ=tan[(α+β)-α]=tan¿¿=-2+31+6=17.14.解:(1)tanα+π4=tanα+11−tanα,由tanα+π4=2,可得tanα+11−tanα=2,解得tanα=13.(2)由tanα=13,α∈0,π2,可得sinα=❑√1010,cosα=3❑√1010.因此sin2α=2sinαcosα=35,cos2α=1-2sin2α=45,所以sin2α-π3=sin2αcosπ3-cos2αsinπ3=35×12-45×❑√32=3−4❑√310.15.解:(1)∵α,β∈0,π2,∴-π2<α-β<π2.又tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-❑√1010.(2)由(1)可得,cos(α-β)=3❑√1010.∵α为锐角,sinα=35,∴cosα=45.∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=45×3❑√1010+35×-❑√1010=9❑√1050.16.B[解析]因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=π4.在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,所以sin∠BEC=❑√55,cos∠BEC=2❑√55.所以sin∠CED=sinπ4-∠BEC=❑√22cos∠BEC-❑√22sin∠BEC=❑√22×2❑√55-❑√55=❑√1010.17.-2[解析]由sinθ-3cosθ=❑√10得❑√101❑√10sinθ-3❑√10cosθ=❑√10,所以sin(θ-φ)=1,其中sinφ=3❑√10,cosφ=1❑√10,则tanφ=3.由sin(θ-φ)=1得θ=2kπ+π2+φ(k∈Z),所以tanθ=tanπ2+φ=cosφ-sinφ=-1tanφ=-13,所以tanθ-π4=tanθ-11+tanθ=-13-11−13=-2.
