第35讲数列性质的证明【知识要点】一、数列性质的证明一般有两种方法：方法一：利用等差数列等比数列的定义来证明.是等差数列数列是等比数列方法二：利用等差等比数列的中项公式来证明.数列是等比数列【方法讲评】方法一定义法使用情景绝大部分情况下，都是用这种方法.解题步骤把已知条件代到或中化简，证明化简结果是一个常数.【例1】已知数列满足（1）求证：数列为等比数列；（2）设，问：数列中是否存在三项，使成等差数列，如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.而，∴是以5为首项，3为公比的等比数列.【点评】利用定义证明数列等比，只要把已知条件代入化简，注意化简时，一般只变分子或分母，不要同时变化，一直化简到最后是一个非零常数为止.【反馈检测1】已知数列，，，（1）证明：数列是等差数列．（2）设，数列的前项和为，求使成立的最小正整数．【反馈检测2】已知数列满足：，其中.（1）求证：数列是等比数列；（2）令，求数列的最大项.方法二中项公式法使用情景少数情况下用这种方法.解题步骤把已知条件化简，找到相邻三项的关系.【例2】已知数列中，，前项和.①求数列的通项公式；②设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（2）由（1）知∴∴则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要∴存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为【点评】已知、和的关系，一般利用公式求数列的通项.【反馈检测3】设数列的前项和为，已知，且，其中为常数.(Ⅰ)求与的值；(Ⅱ)证明：数列为等差数列；(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第35讲：数列性质的证明参考答案【反馈检测1答案】（1）证明见后面解析；（2）.【反馈检测2答案】（1）证明见后面解析；（2）数列的最大项为.【反馈检测2详细解析】（1）当时，，∴，又∵，∴，即，∴.又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知，，∴，∴，当时，，即，当时，，当时，，即，∴数列的最大项为.【反馈检测3答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)证明见后面解析；(Ⅲ)证明见解析.【反馈检测3详细解析】（Ⅰ）由已知，得，，.由，知即解得，.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.要证，只要证.因为，，故只要证，即只要证.因为，所以命题得证.
