高考数学一轮复习 7.12直线与圆锥曲线的位置关系练习 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第十二节直线与圆锥曲线的位置关系一、直线与圆锥曲线的位置关系设直线l的方程为g(x，y)＝0，圆锥曲线C的方程为f(x，y)＝0，联立方程组消去其中一个变量如y，得到关于x的二次方程t(x)＝0(一般为二次方程)，设其判别式为Δ，则有1．相交：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；(3)Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．2．相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切；3．相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．特别注意：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交．如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；(2)过双曲线－＝1外一点P(x0，y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①点P在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②点P在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③点P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④点P为原点时不存在这样的直线．(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．二、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质1．以过焦点的弦为直径的圆和准线相切．2．设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF.3．设AB为焦点弦，A，B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB.4．若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线．三、弦长公式若直线y＝kx＋b与圆锥曲线相交于两点A，B，且x1，x2分别为A，B的横坐标，则＝·；若y1，y2分别为A，B的纵坐标，则＝；若弦AB所在直线方程设为x＝ky＋b，则＝.特别地，焦点弦(过焦点的弦)的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和1后，利用定义求解．四、圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.特别注意：因为Δ>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ>0!总之在解决直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用问题，常常要转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题．对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”．涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式．1．点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1的距离和的最小值是(D)A.B.C．2D.解析：抛物线的焦点为F(1，0)，设点P到直线x＝－1的距离为d，则根据抛物线的定义有|PF|＝d，要使|PA|＋d最小，则必须A，P，F三点共线，此时最小值为|AF|＝.故选D.2．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，椭圆上的点C使△ABC的面积等于12，这样的点C共有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个3．(2013·扬州调研)已知双曲线x2－＝1的一条渐近线与直线x－2y＋3＝0垂直，则实数a＝4．解析：由双曲线标准方程特征知a>0，其渐近线方程为x±y＝0，可得渐近线x＋y＝0与直线x－2y＋3＝0垂直，所以a＝4.4．(2013·镇江质检)以双曲线x2－4y2＝4的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是y2＝4x．解析：设抛物线的方程为y2＝2px，则由焦点相同的条件可知＝，∴p＝2...