第22讲三角恒等变换的方法【知识要点】一、同角的三大关系：商数关系：平方关系：温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号.二、诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是纵轴（即轴）上的角，就是“纵”，是横轴（即轴）上的角，就是“横”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“--”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算.三、和角与差角公式：;;变用：±=(±)(1)四、二倍角公式：=..五、注意这些公式的来弄去脉，这些公式都可以由公式推导出来.六、注意公式的顺用、逆用、变用.如：逆用变用七、辅助角公式（其中）(其中和点所在象限相同，且)八、三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，把未知的角变成已知角的和差，或者变成已知角与特殊角的和差.是变换的主线，如,,,等.（2）“变名”指的是“切化弦”（正切余切化成正弦余弦.（3）“变式”指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、辅助角公式展开和合并等.【方法讲评】方法一变角使用情景未知的角和已知的角之间有联系解题步骤先把未知的角转化成已知的角或特殊的角的关系，再代入公式求解.【例1】已知，,，，求的值．∴【点评】（1）三角恒等变换首先要注意观察“角”，因为“角”是三角的主角，注意观察未知的角和已知的角之间的“和”、“差”、“倍”、“半”的关系，再决定变形的方向.（2）该题中，所以要先通过诱导公式把这样就和已知联系起来了.当然也可以把利用诱导公式变再把【反馈检测1】设（－）=－，（－）=，且＜＜，0＜β＜，求.【例2】已知<<<,(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.【点评】（1）三角恒等变换中求角，一般转化成求角的某种三角函数，一般是余弦、正弦，有时是正切，要看具体的数学情景.（2）一个关键点.【反馈检测2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为，.（1）求(+)的值；（2）求+2的值.方法二变名使用情景已知的三角函数种类比较多解题步骤先把正切余切化成正弦余弦（简称“切化弦”），再化简.【例3】若【点评】此题把化成是很关键的一个切入点，一般当三角函数的种类比较多，给化简带来了麻烦时，一般是把正切余切化成正弦和余弦，简称“切化弦”.【反馈检测3】求·的值.方法三变式使用情景式子的次数有高有低，项数较多.解题步骤一般进行升幂或降幂、因式分解、辅助角公式，再化简.【例4】已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的最小正周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值；（Ⅲ）如果在上恒成立，求的取值范围.（Ⅲ）在上恒成立，即【点评】（1）由于已知的函数的次数是“2”次，但是目标函数是一次，所以首先必须利用降幂公式降幂.（2）辅助角公式是三角恒等变换经常用到的公式，它可以化二项式为单项式，所以一定要熟练准确地掌握.【反馈检测4】已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）设，求的值域和单调递增区间．【反馈检测5】已知，，令函数，且的最小正周期为．（1）求的值；（2）求的单调区间．高中数学常见题型解法归纳反馈检测第22讲：三角恒等变换的方法参考答案【反馈检测1答案】－【反馈检测2答案】（1）；（2）+2=.【反馈检测2详细解析】由条件得=,=.∵,为锐角,∴==,==.因此==7,==.(1)(+)===-3.(2)∵2===,∴(+2)===-1.∵,为锐角,∴0＜+2＜,∴+2=.【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】原式=【反馈检测4答案】（1）；（2）.【反馈检测5答案】（1）；（2）在上递增；同理可求递减区间为．【反馈检测5详细解析】（1）∵，所以，即，∴；（2）令，解之在上递增；同理可求递减区间为．
