(二)立体几何1．(2017届南京、盐城二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.证明(1)因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP.又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP.(2)因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.①因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD.又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.②由①②得CD∥AB.因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB.2.(2017届蚌埠质检)如图所示，在四棱锥A—BCDE中，已知平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，DE∥BC，BC＝2DE＝6，AB＝4，∠ABC＝30°.(1)求证：AC⊥BE；(2)若∠BCE＝45°，求三棱锥A—CDE的体积．(1)证明在△ABC中，由cos∠ABC＝＝，解得AC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.∵平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC，BC⊥AC，∴AC⊥平面BCDE.又∵BE⊂平面BCDE，∴AC⊥BE.(2)解∵BE⊥EC，∠BCE＝45°，BC＝6，∴△BCE的边BC上的高为3，S△CDE＝×3×3＝，由(1)知，三棱锥A—CDE的底面CDE上的高为2，∴VA—CDE＝××2＝3.3.(2017届河北省衡水中学押题卷)如图所示的几何体P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝a，PB＝a，PB⊥AB，平面ABCD⊥平面PAB，AC∩BD＝O，E为PD的中点，G为平面PAB内任一点．(1)在平面PAB内，过G点是否存在直线l，使OE∥l？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；(2)过A，C，E三点的平面将几何体P—ABCD截去三棱锥D—AEC，求剩余几何体AECBP的体积．解(1)过G点存在直线l，使OE∥l，理由如下：由题可知O为BD的中点，又E为PD的中点，所以在△PBD中，有OE∥PB.若G点在直线PB上，则直线PB即为所求直线l，所以OE∥l；若G点不在直线PB上，在平面PAB内，过G点作直线l，使l∥PB，又OE∥PB，所以OE∥l，即过G点存在直线l，使OE∥l.(2)连接EA，EC，则平面ACE将几何体分成两部分：三棱锥D—AEC与几何体AECBP，如图所示．因为平面ABCD⊥平面PAB，且交线为AB，又PB⊥AB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥平面ABCD.故PB为几何体P—ABCD的高．又四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝a，PB＝a，所以S四边形ABCD＝2×a2＝a2，所以VP—ABCD＝S四边形ABCD·PB＝×a2×a＝a3.又OE綊PB，所以OE⊥平面ACD，所以V三棱锥D—AEC＝V三棱锥E—ACD＝S△ACD·EO＝VP—ABCD＝a3，所以几何体AECBP的体积V＝VP—ABCD－V三棱锥D—AEC＝a3－a3＝a3.4.(2017届锦州质检)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD，BC＝AD.(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)若三棱锥A—BMQ的体积是四棱锥P—ABCD体积的，设PM＝tMC，试确定t的值．(1)证明∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，∴QD∥BC且QD＝BC，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ.∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BQ⊂平面ABCD，∴BQ⊥平面PAD，∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD，∴PQ⊥平面ABCD.设PQ＝h，梯形ABCD的面积为S，则三角形ABQ的面积为S，VP—ABCD＝Sh.又设M到平面ABCD的距离为h′，则VA—BQM＝VM—ABQ＝·Sh′，根据题意·Sh′＝·Sh，∴h′＝h，故＝＝，∴M为PC的中点，∴t＝1.5．如图(1)，在五边形ABCDE中，ED＝EA，AB∥CD，CD＝2AB，∠EDC＝150°.如图(2)，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P—ABCD.点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD.(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；(2)若直线PC与AB所成角的正切值为，设AB＝1，求四棱锥P—ABCD的体积．(1)证明取PD的中点N，连接AN，MN，则MN∥CD，MN＝CD，又AB∥CD，AB＝CD，∴MN∥AB，MN＝AB，∴四边形ABMN为平行四边形，∴AN∥BM.又BM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD，AN⊂平面PAD.∴平面PAD⊥平面PCD.(2)解取AD的中点O，连接PO，∵AN⊥平面PCD，∴AN⊥PD，AN⊥CD.由ED＝EA，即PD＝PA及N为PD的中点，可得△PAD为等边三角形，∴∠PDA＝60°，又∠EDC＝150°，∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AD.又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.∵PO⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO是四棱锥P—ABCD的高．∵AB∥CD，∴∠PCD为直线PC与AB所成的角，∵∠PDC＝90°，∴tan∠PCD＝＝，∴CD＝2PD，由AB＝1可知，CD＝2，PD＝PA＝AD＝AB＝1，则VP—ABCD＝PO·S四边形ABCD＝.
