由正、余弦定理判定三角形的形状必修5第一章解三角形中有一题型，既是判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断．边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等，下面的题目给出常见的三角形形状判定的类型．例1：已知△ABC中,bsinB=csinC,且,试判断三角形的形状．解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得sinB=sinC，∴sinB=sinC∴B=C由得∴三角形为等腰直角三角形．例２：在△ABC中，若Ｂ=，２b=a+c,试判断△ABC的形状.解:∵２b=a+c,由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=得sinA+sinC=由三角形内角和定理知sinA+sin()=,整理得sin(A+)=1∴A+,所以三角形为等边三角形.例3：在△ABC中，已知，试判断△ABC的形状．解：法1：由题意得，化简整理得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．法2：由已知得结合正、余弦定理得，整理得∴即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在△ABC中，（1）已知sinA=2cosBsinC，试判断三角形的形状；（2）已知sinA=，试判断三角形的形状．解：(1)由三角形内角和定理得sin(B+C)=2cosBsinC整理得sinBcosC－cosBsinC=0即sin(B－C)=0∴B=C即三角形为等腰三角形.(2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，结合正、余弦定理得，化简整理得∴即三角形为直角三角形．例5：在△ABC中，（1）已知a－b=ccosB－ccosA，判断△ABC的形状．（2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC的形状．解：（1）由已知结合余弦定理可得，整理得∴，∴三角形为等腰三角形或直角三角形用心爱心专心（2）由b=asinC可知，由c=acosB可知整理得，即三角形一定是直角三角形，∠A=，∴sinC=sinB∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰直角三角形．例6：已知△ABC中，，且，判断三角形的形状．解：由题意令，则∵,由余弦定理得∴∴即△ABC为直角三角形．用心爱心专心
