第8章平面解析几何第5节椭圆1．（2014安徽，5分）若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(00)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1
故E的方程为＋y2＝1
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝
从而|PQ|＝|x1－x2|＝
又点O到直线PQ的距离d＝
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2
4．（2014江苏，14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．解：设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a
又BF2＝，故a＝
因为点C在椭圆上，所以＋＝1
解得b2＝1
故所求椭圆的方程为＋y2＝1
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1
解方程组得或所以点A的坐标为
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为
因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1
