高中数学 第3章 不等式 3.4 基本不等式 第1课时 基本不等式练习 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

§3.4基本不等式：≤第1课时基本不等式1.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是A.lg(x2＋1)≥lg(2x)B.x2＋1＞2xC.≤1D.x＋≥2解析对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x＜0时，不成立.对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立.故选C.答案C2.设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是A.＋＜1B.＋≥1C.＋＜2D.＋≥2解析因为ab≤≤＝4，所以＋≥2≥2＝1.答案B3.四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则A.＞B.＜C.＝D.≤解析因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2，故＞.答案A4.a2＋b2＋c2＋3________2(a＋b＋c)(填“＞”“≥”“＜”或“≤”).解析因为a2＋b2＋c2＋3＝(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)≥2a＋2b＋2c＝2(a＋b＋c).所以a2＋b2＋c2＋3≥2(a＋b＋c).(当且仅当a＝1，b＝1，c＝1时等号成立)答案≥5.已知a，b是正数，求证≤.解析∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，∴≤＝，即≤(当a＝b时取“＝”).1[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.有下列式子：①a2＋1＞2a；②≥2；③≥2；④x2＋≥1，其中正确的个数是A.0B.1C.2D.3解析∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，故①不正确；对于②，当x＞0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x＜0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1，则＝－2＜2，故③不正确；对于④，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确.答案C2.下列不等式中正确的是A.a＋≥4B.a2＋b2≥4abC.≥D.x2＋≥2解析a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确.答案D3.若a>b>0，则下列不等式成立的是A.a>b>>B.a>>>bC.a>>b>D.a>>>b解析a＝>>>＝b，因此只有B项正确.答案B4.a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是A.a2＋b2≥2|ab|B.a2＋b2＝2|ab|C.a2＋b2≤2|ab|D.a2＋b2＞2|ab|解析∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立.)答案A5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则A.a＜v＜B.v＝C.＜v＜D.v＝解析v＝＝＜＝.因为－a＝＝＞＝0，2所以＞a，即v＞a.故选A.答案A6.(能力提升)若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是A.＜＜B.≥≥C.＞＞D.＜＜解析a＞b＞0，＞，＜＝，从而＞＞.答案C二、填空题(每小题5分，共15分)7.设正数a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则logat________loga(填“＞”“≥”“≤”或“＜”).解析因为a2＋a－2＞0，所以a＜－2或a＞1，又a＞0，所以a＞1，因为t＞0，所以≥，所以loga≥loga＝logat.答案≤8.某市一外贸公司，第一年产值增长率为a，第二年产值增长率为b，这两年的平均增长率为x，那么x与的大小关系是________.解析依题意，可得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤＝，所以1＋x≤1＋，即x≤.答案x≤9.(能力提升)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________.(填序号)解析因为ab≤＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确.答案①③④三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：＋＋＜＋＋.证明因为a，b，c都是正实数，且abc＝1.所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，3＋≥2＝2，以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋.因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立，所以＋＋＜＋＋.11.(12分)已知0＜x＜1，试比较2＋log2x＋与2－2的大小.解析因为0＜x＜1，所以log2x＜0，＜0.所以－log2x＞0，－＞0.所以(－log2x)＋≥2＝2，即－≥2，当且仅当－log2x＝－，即log2x＝－时等号成立，所以log2x＋≤－2，可得2＋log2x＋≤2－2.12.(12分)(能力提升)已知a＞0，b＞0，c＞0且不全相等，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明因为a，b，c＞0且不全相等，所以＞，＞，＞，所以··＞abc，所以lg＞lg(abc)，所以lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.45