3.1.3组合与组合数第一课时组合及组合数公式课后篇巩固提升基础达标练1.计算:C82+C83+C92=()A.120B.240C.60D.480解析C82+C83+C92=7×82×1+6×7×83×2×1+8×92×1=120.答案A2.(多选)若C9x+1=C92x-1,则x的值可能为()A.2B.3C.4D.5解析由组合数公式的性质可得,x+1=2x-1或x+1+2x-1=9,解得x=2或x=3.经检验,符合题意.故选AB.答案AB3.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种解析先安排1名教师和2名学生到甲地,再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地,共有C21C42=12种安排方案.答案A4.异面直线a,b上分别有4个点和5个点,由这9个点可以确定的平面个数是()A.20B.9C.C93D.C42C51+C52C41解析分两类:第一类,在直线a上任取一点,与直线b可确定C41个平面;第二类,在直线b上任取一点,与直线a可确定C51个平面.故可确定C41+C51=9个不同的平面.答案B5.已知圆上有9个点,每两点连一线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有()A.36个B.72个C.63个D.126个1解析此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线的交点个数即所求,所以交点有C94=126(个).答案D6.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)解析分两类:第一类:从0,2,4,6中取到0,则没有重复数字的四位数有C31C52A31A33=540(个);第二类:从0,2,4,6中不取0,则没有重复数字的四位数有C32C52A44=720(个).所以没有重复数字的四位数共有540+720=1260(个).答案12607.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的菜品.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜种.(结果用数值表示)解析设餐厅至少还需准备x种不同的素菜,由题意,得C52·Cx2≥200,从而有Cx2≥20,即x(x-1)≥40.所以x的最小值为7.答案78.求证:m!+(m+1)!1!+(m+2)!2!+…+(m+n)!n!=m!Cm+n+1n.证明左边=m!(1+Cm+11+Cm+22+…+Cm+nn)=m!(Cm+10+Cm+11+Cm+22+…+Cm+nn)=m!(Cm+21+Cm+22+…+Cm+nn)=m!(Cm+32+Cm+33+…+Cm+nn)…=m!Cm+n+1n=右边.能力提升练1.(2019山东高二期末)计算2C75+3A52的值是()2A.72B.102C.5070D.5100解析依题意,原式=2C72+3A52=2×7×62×1+3×5×4=42+60=102,故选B.答案B2.(2019安徽六安一中高二期末)六安一中高三教学楼共五层,甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课,则满足有且仅有一人上5楼上课,且甲不在2楼上课的所有可能的情况的种数为()A.27B.81C.54D.108解析甲在五楼上课有33种情况,甲不在五楼且不在二楼上课有C31C21×32=54种情况,由分类加法计数原理知共有54+27=81种不同的情况,故选B.答案B3.2020年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.48种D.36种解析由题意,第一类,(1)班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个为C32=3种,然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4种,故有3×4=12种;第二类,(1)班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,为C31=3种,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4种,这时共有3×4=12种,根据分类加法计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式.故选B.答案B4.(多选)下列四个组合数公式:对n,k∈N,约定0!=C00=1,下列选项中,正确的是()A.Cnk=Ankk!(0≤k≤n)B.Cnk=Cnn-k(0≤k≤n)C.knCnk=Cn-1k-1(1≤k≤n)D.Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1(1≤k≤n)解析A.Cnk=AnkAkk=Ankk!(0≤k≤n),等式成立;3B.Cnk=Ankk!=n!(n-k)!k!(0≤k≤n),Cnn-k=Ann-k(n-k)!=n![n-(n-k)]!(n-k)!=n!k!(n-k)!(0≤k≤n),所以Cnk=Cnn-k(0≤k≤n)成立;C.knCnk=kn·Ankk!=kn·n!(n-k)!k!=(n-1)!(n-k)!(k-1)!(1≤k≤n),Cn-1k-1=An-1k-1(k-1)!=(n-1)!(n-k)!(k-1)!(1≤k≤n),所以knCnk=Cn-...
