第二章推理与证明学业水平达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点”，不难得到结论．因为大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，所以大前提错误．答案：A2．用反证法证明“方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)至多有两个解”的假设中，正确的是()A．至多有一个解B．有且只有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解解析：“至多n个”的反设应为“至少n＋1个”．故选C.答案：C3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：A选项用的椭圆定义进行推理，不是归纳推理，B项根据前3项的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求，C项属于类比推理，D项是类比推理．答案：B4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析：由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．答案：D5．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4a6＞a3a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，公比q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8＞b5＋b7B．b4＋b8＜b5＋b7C．b4＋b7＞b5＋b8D．b4＋b7＜b5＋b8解析：根据类比特征，等差中a4a6＞a3a7，其中4＋6＝3＋7.因为(b4＋b8)－(b5＋b7)＝b4(1－q)2(1＋q＋q2)＞0，所以b4＋b8＞b5＋b7.答案：A6．设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为()A．A＞BB．A≥BC．A＜BD．A≤B解析：因为x＞0，y＞0，所以B＝＋＞＋＝＝A，所以A＜B.答案：C7．已知x＞0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，可以推出结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝()A．2nB．3nC．n2D．nn解析：由两个不等式的结构特点知，x＋＝＋＋…＋＋≥(n＋1)＝(n＋1)＝n＋1.所以a＝nn.答案：D8．如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2010次互换座位后，小兔坐在()号座位上．()1A．1B．2C．3D．4解析：由题意得第4次互换坐位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而2010＝4×502＋2，所以第2010次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上，应选B.答案：B9．已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝0，归纳出数列{an}的一个通项公式为()A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝解析：由an＋1＝和a1＝0，得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，…归纳上述结果，得到猜测an＝.故选B.答案：B10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是()A．Sn＝n2B．Sn＝n3C．Sn＝n4D．Sn＝n(n＋1)解析：当n＝1时，S1＝1；当n＝2时，S2＝8＝23；当n＝3时，S3＝27＝33.归纳猜想Sn＝n3，故选B.答案：B11．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积...
