§2数学证明课时过关·能力提升1.下面说法正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理是由特殊到一般的推理;③演绎推理的一般模式是三段论形式;④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C2.有一段演绎推理是这样的:“若一条直线平行于一个平面,则该直线平行于平面内所有的直线.已知直线b不在平面α内,直线a在平面α内,直线b∥平面α,则直线b∥直线a.”此推理的结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大、小前提都错误解析:本题的大前提不对,一条直线平行于一个平面,该直线并不与平面内所有的直线都平行.答案:A3.等和数列的定义:在一个数列中,如果每一项与它后面一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫作等和数列.下列数列不是等和数列的为()A.an=10B.an¿{2,n,为奇数3,n为偶数1C.an¿{2n,n,为奇数3n,n为偶数D.an={sin2α,n,为奇数cos2α,n为偶数答案:C4.“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等.”以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案:B5.在边长不相等的三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足的条件是()A.a2
b2+c2D.a2≤b2+c2解析:由题意,知cosA¿b2+c2-a22bc<0,所以b2+c2-a2<0,所以a2>b2+c2.答案:C6.★f(x)是定义在(0,+∞)内的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)<0.对任意正数a,b,若aF(b),即af(a)>bf(b).又f(x)是定义在(0,+∞)内的非负可导函数,所以bf(a)>af(a)>bf(b)>af(b).故选B.答案:B7.用演绎推理证明y=x2在(-∞,0)内是减少的时,大前提是.解析:大前提:函数递减的定义,即在定义域D内的区间I上,若x1f(x2),则f(x)在区间I上是减少的.小前提:y=x2在(-∞,0)内,对于x1f(x2).结论:y=x2在(-∞,0)内是减少的.答案:函数递减的定义8.“平面内到两定点F1,F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提).已知平面内动点M到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4(小前提),则动点M的轨迹是椭圆(结论).”此推理中错误的环节是.解析:大前提应是到两定点距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密.答案:大前提9.如图,在锐角三角形ABC中,M为AB的中点,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足.求证:EM=DM.(要求:用三段论证明,并指出每一步推理的大前提和小前提.)3证明因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,大前提在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,小前提所以△ABD是直角三角形.结论同理,△ABE也是直角三角形.因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,小前提所以DM¿12AB.结论同理,EM¿12AB.所以EM=DM.10.已知正数数列{an}的前n项和Sn¿an2+an2,求证:数列{an}是等差数列.证明∵Sn¿an2+an2,∴当n=1时,a1¿a12+a12.∵a1>0,∴a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1¿an2+an2−an-12+an-12.∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0.∵an>0,∴an-an-1=1.4∴{an}为等差数列.11.请你把不等式“若a1,a2是正实数,则有a12a2+a22a1≥a1+a2”推广到一般情形,并证明你的结论.解:推广的结论:若a1,a2,…,an都是正实数,则a12an+a22an-1+…+an-12a2+an2a1≥a1+a2+…+an.证明:因为a1,a2,…,an都是正实数,所以a12an+an≥2a1,a22an-1+an−1≥2a2,…,an-12a2+a2≥2an-1,an2a1+a1≥2an.故a12an+a22an-1+…+an-12a2+an2a1≥a1+a2+…+an.12.★如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C,AB的中点,A1B交AB1于点G.求证:(1)A1B⊥AD;(2)CE∥平面AB1D.证明(1)连接A1D,DG,BD,因为三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱,5所以四边形A1ABB1为正方形,所以A1B⊥AB1.因为D是C1C的中点,所以△A1C1D≌△BCD,所以A1D=BD.因为G为A1B的中点,所以A1B⊥DG.因为DG∩AB1=G,DG⫋平面AB1D,AB1⫋平面AB1D,所以A1B⊥平面AB1D.因为AD⫋平面AB1D,所以A1B⊥AD.(2)连接GE,因为EG∥A1A,DC∥AA1,所以GE∥DC.因为GE¿12AA1=12a,DC=12CC1=12a,所以GE=DC.所以四边形GECD为平行四边形,所以EC∥GD.因为EC⊈平面AB1D,DG⫋平面AB1D,所以EC∥平面AB1D.67
