2.1.4两条直线的交点[学业水平训练]若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于()A．－2B．－C．2D.解析：选B.直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点为A(－1，－2)，又∵x＋ky＝0过A(－1，－2)，∴－1－2k＝0，∴k＝－.过原点和直线l1：x－3y＋4＝0与l2：2x＋y＋5＝0的交点的直线方程为()A．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0C．3x＋19y＝0D．19x－3y＝0解析：选C.设所求直线方程为(x－3y＋4)＋λ(2x＋y＋5)＝0，将(0，0)代入得4＋5λ＝0，解得λ＝－.故所求直线方程为(x－3y＋4)－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0，故选C.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0D．2x－y＋8＝0解析：选A.由，得故过点(1，6)与x－2y＝0垂直的直线为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为()A．－24B．6C．±6D．以上答案均不对解析：选C.2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为，由＝得m＝±6.点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2)B．(2，5)C．(－5，－2)D．(－2，5)解析：选C.设对称点P′(x，y)，则，∴x＝－5，y＝－2.直线y＝ax＋1与y＝x＋b交于点(1，1)，则a＝________，b＝________．解析：因为直线y＝ax＋1与y＝x＋b的交点为(1，1)，所以⇒.答案：00若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．解析：首先解得方程组的解为，代入直线y＝3x＋b得b＝2.答案：2经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的方程为________．解析：由，得，垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的斜率为－，故所求的直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.答案：2x＋3y－2＝0判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.解：(1)≠，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)＝≠，所以方程组没有解，两直线平行．(3)＝＝，方程组有无数个解，两直线重合．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的2倍的直线l的方程．解：(1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0.据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－.所以－＝2·(－)，解得λ＝，此时直线l的方程为2x－3y＝0.综合(1)(2)，所求直线方程为2x＋y－8＝0或2x－3y＝0.[高考水平训练]直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为()A.B.C．－D．－解析：选D.设直线l与直线y＝1的交点为A(x1，1)，直线l与直线x－y－7＝0的交点为B(x2，y2)，因为M(1，－1)为AB的中点，所以－1＝，即y2＝－3，代入直线x－y－7＝0得x2＝4，因为点B，M都在直线l上，所以kl＝＝－.故选D.若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a应满足的条件是________．解析：解方程组，得，即两直线的交点坐标为(－3，2)．依题意知，实数a满足的条件为，解得，即实数a满足的条件为a∈R，且a≠且a≠3且a≠－6.答案：a≠且a≠3且a≠－6在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．解：如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．由得，故A(－1，0)．又∠A的角平分线为x轴，故kAC＝－kAB＝－1，∴AC所在直线方程为y＝－(x＋1)，又kBC＝－2，∴BC所在直线方程为y－2＝－2(x－1)，由，得，故C点坐标为(5，－6)．4．一束平行光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线与直线l的交点坐标．解：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得，解得，∴A的坐标为(4，3)．∵反射光线的反向延长线过A(4，3)，又由反射光线过P(－4，3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组，解得，∴反射光线与直线l的交点坐标为.
