学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P(2,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为()A.B．C．2D．2【解析】双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，点P(2,0)到渐近线的距离为＝，所以a2＝b2，所以双曲线的离心率为，故选A.【答案】A2．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.B．2C．6D．4【解析】设A，B两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将x＝c＝2代入渐近线方程y＝±x得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.【答案】D3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－＝1B．－y2＝1C.－x2＝1D．y2－＝1【解析】由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.【答案】C4．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【解析】分别表示出e1和e2，利用作差法比较大小．由题意e1＝＝；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，离心率e2＝＝.因为－＝，且a＞0，b＞0，m＞0，a≠b，所以当a＞b时，＞0，即＞.又＞0，＞0，所以由不等式的性质依次可得2＞2,1＋2＞1＋2，所以＞，即e2＞e1；同理，当a＜b时，＜0，可推得e2＜e1.综上，当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2.【答案】D5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B．1C.D．【解析】设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得·＝－1，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．【答案】D二、填空题6．过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．【解析】|MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2|＋|NF2|－(|MF1|＋|NF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8.【答案】87．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为__________．【解析】根据题意建立a，c间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，则－＝1，故＝5，即e＝＝.【答案】8．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b＝________.【导学号：32550089】【解析】由于点P(a，b)在右支上，所以a－b>0.又 ＝，∴a－b＝，又 a2－b2＝1，∴a＋b＝＝＝.【答案】三、解答题9．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．【解】(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，所以a＝3，b＝4，c＝5，所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0；(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．【解】(1) e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.2∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－. 点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴MF1·MF2＝0.法二： MF1＝(－3－2，－m)，MF2＝(2－3，－m)，∴MF1·MF2...
