（新高考）高考数学二轮复习 大题考法专训（五）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

大题考法专训（五）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题A级——中档题保分练1．(2019·武汉模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆C上异于A，B的点，直线TA，TB的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(8,0)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．解析：(1)设T(x，y)(x≠±4)，则直线TA的斜率为k1＝，直线TB的斜率为k2＝.于是由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1(x≠±4)，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意设直线PQ的方程为x＝my＋8，由得(3m2＋4)y2＋48my＋144＝0，Δ＝(48m)2－4×144×(3m2＋4)＝12×48(m2－4)＞0，即m2＞4，yP＋yQ＝－，yPyQ＝.所以|PQ|＝·＝，又点O到直线PQ的距离d＝.所以S△OPQ＝×|PQ|×d＝＝≤4.故△OPQ面积的最大值为4.2.如图所示，A，B，C，D是抛物线E：x2＝2py(p＞0)上的四点，A，C关于抛物线的对称轴对称且在直线BD的异侧，直线l：x－y－1＝0是抛物线在点C处的切线，BD∥l.(1)求抛物线E的方程；(2)求证：AC平分∠BAD.解：(1)联立消去y得x2－2px＋2p＝0. l与抛物线相切，∴Δ＝4p2－8p＝0，∴p＝2，∴抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明：设点B(xB，yB)，D(xD，yD)，由(1)可得C(2,1)，A(－2,1)． 直线l∥BD，∴设直线BD的方程为y＝x＋t.由得x2－4x－4t＝0，∴xB＋xD＝4.又 kAD＋kAB＝＋＝＝0，∴AC平分∠BAD.3．已知A，B分别为曲线C：＋y2＝1(y≥0，a＞0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，M为l上位于x轴上方的一点，连接AM交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为的三等分点，试求出点M的坐标；(2)若a＞1，S△MAB＝2，当△TAB的最大面积为时，求椭圆的离心率的取值范围．解：(1)当曲线C为半圆时，得a＝1.由点T为的三等分点，得∠BOT＝60°或120°.当∠BOT＝60°时，∠MAB＝30°，又|AB|＝2，故△MAB中，有|MB|＝|AB|·tan30°＝，所以M.当∠BOT＝120°时，同理可求得点M坐标为(1,2)．(2)设直线AM的方程为y＝k(x＋a)，则k＞0，|MB|＝2ka，所以S△MAB＝·2a·2ka＝2，所以k＝，代入直线方程得y＝(x＋a)，联立解得yT＝，所以S△TAB＝·2a·＝≤，解得1＜a2≤2，所以椭圆的离心率e＝≤，即椭圆的离心率的取值范围为.B级——拔高题满分练1．(2019·武汉调研)已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(－2,1)，且右焦点F(，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝MA·MB，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1＋t2的值．解：(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，知a2－b2＝3，即b2＝a2－3，则＋＝1.又椭圆过点M(－2,1)，∴＋＝1，又a2＞3，∴a2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2＋2k2(x－1)2＝6，即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0， 点N(1,0)在椭圆内部，∴Δ＞0，∴则t＝MA·MB＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)(kx2－k－1)＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5，③将①②代入③得，t＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5，∴t＝，∴(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R，则Δ1＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0，∴(2t－15)(t＋1)－1≤0，即2t2－13t－16≤0，由题意知t1，t2是2t2－13t－16＝0的两根，∴t1＋t2＝.2．(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．解：(1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆．(2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k＞0)．由得x＝±.设u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为，其方程为y＝(x－u)．由消去y，得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.(*)设G(xG，yG)，则－u和xG是方程(*)的解，故xG＝，由此得yG＝.从而直线PG的斜率为＝－.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．②由①得|PQ|＝...