2017年高考数学基础突破——集合与函数8．函数与方程【知识梳理】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210【基础考点突破】考点1.函数零点所在的区间【例1】(1)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，则下列结论正确的是()A．函数f(x)在区间(0，1)内没有零点B．函数f(x)在区间(0，1)和(1，2)内都有零点C．函数f(x)在区间(1，16)内有零点D．函数f(x)在区间[2，16)内没有零点（2）已知函数的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)变式训练1.函数f(x)＝lnx－的零点所在的区间是()A．(－1，1)B．(1，2)C．(2，e)D．(0，e)考点2.判断函数零点个数【例2】(1)函数的零点个数为()A．0B．1C．2D．3(2)函数f(x)＝的零点个数是．【归纳总结】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图像与性质确定函数零点个数．(3)利用图像交点个数，作出两函数图像，观察其交点个数即得零点个数．变式训练2.函数f(x)＝（）x－sinx在区间[0，2π]上的零点个数为()A．1B．2C．3D．4考点3.函数零点的应用【例3】已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．【归纳总结】函数零点的应用主要体现在利用零点求参数的范围．若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则可将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图像的关系求解，这样会使问题变得直观、简单，也体现了数形结合思想．变式训练3.(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(0,3)C．(0,2)D．(0,1)考点4.二次函数的零点问题【例4】已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1，2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.【归纳总结】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.变式训练4.（1）已知二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点，求实数的取值范围．（2）已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围．【基础练习】1.(2016·厦门模拟)函数f(x)＝2x－的零点所在的大致区间是()A.B.C.D.2.若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A.0，2B.0，C.0，－D.2，－3.(2015·周口二模)已知函数f(x)＝－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值()A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于04．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为()A.，0B．－2,0C.D．05．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是()A．1B．2C．3D．46.若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A.0B.－C.0或－D.27.函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.D.8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是．9．...
