第20讲三角函数的图象与性质[解密考纲]本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，难度中等．一、选择题1．函数y＝的定义域为(C)A．B．kπ－≤x≤kπ＋，k∈ZC．2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈ZD．R解析∵cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.2．(2018·浙江温州模拟)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象(A)A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位解析因为y＝sin3x＋cos3x＝cos，所以将y＝cos3x的图象向右平移个单位后可得到y＝cos的图象.3．(2018·辽宁营口模拟)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(B)A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增解析由题可得平移后的函数为y＝3sin＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得kπ＋≤x≤kπ＋，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件，故选B．4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(D)A．1B．C．D．解析观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ).将代入上式得sin＝0.由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin.函数图象的对称轴为x＝＝.又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴＝，∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝，故选D．5．(2018·河南郑州模拟)如果函数y＝3sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为(A)A．B．C．D．解析由题意，得sin＝±1．所以＋φ＝＋kπ，即φ＝＋kπ(k∈Z)，故|φ|min＝.16．(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π，若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(A)A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝－C．ω＝，φ＝－D．ω＝，φ＝解析由f＝2，得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①由f＝0，得ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②由①②得ω＝－＋(k′－2k)，又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，所以ω＝，又|φ|<π，将ω＝代入①得φ＝，A项符合.二、填空题7．(2018·天津模拟)函数f(x)＝－sin，x∈的最大值是.解析因为x∈，所以－≤2x－≤.根据正弦曲线，得当2x－＝－时，sin取得最小值为－.故f(x)＝－sin的最大值为.8．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为1.解析f(x)＝sin［(x＋φ)＋φ］－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin(x＋φ－φ)＝sinx，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1．9．把函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x－图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)＝sin2x的图象，则φ的最小值为！！！###.解析把函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋cos2x＝sin图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)＝sin＝sin＝sin2x的图象，则φ的最小值为.三、解答题10．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)因为f(x)＝2sin的最小正周期为π，且ω>0.从而有＝π，故ω＝1．(2)因为f(x)＝2sin.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当<2x＋≤，即
