高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 10 第9讲 圆锥曲线的综合问题（第1课时）圆锥曲线中的范围、最值问题练习 理（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第1课时锥曲线中的范围、最值问题[基础题组练]1．如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是()A．(10，14)B．(12，14)C．(10，12)D．(9，11)解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0)，由抛物线定义可得|QC|＝xQ＋1，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5，可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP，由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，即有xP∈(4，6)，可得6＋xP∈(10，12)，故△PQC的周长的取值范围是(10，12)．故选C.2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝λFB(λ＞1)，则λ的值为________．解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF＝λFB，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝－.设直线AB的方程为y＝，联立直线AB与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.答案：43．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(，－2)．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．解：(1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝＋＝4，所以a＝2，b＝2，即椭圆C的方程是＋＝1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，2)，F(0，－2)，OE·OF＝－8.若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以OE·OF＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8，因为0＜≤10，所以－8＜OE·OF≤2，所以OE·OF的取值范围是[－8，2]．4．(2019·郑州第一次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．(1)求椭圆C的离心率e；(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求F2P·F2Q的最大值．解：(1)由题意知＝c，则3a2b2＝c2(a2＋4b2)，即3a2(a2－c2)＝c2[a2＋4(a2－c2)]，所以a2＝2c2，所以e＝.(2)因为△PQF2的周长为4，所以4a＝4，即a＝.由(1)知b2＝c2＝1，故椭圆方程为＋y2＝1，且焦点F1(－1，0)，F2(1，0)．①若直线l的斜率不存在，则可得l⊥x轴，方程为x＝－1，P，Q，F2P＝，F2Q＝，故F2P·F2Q＝.②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由消去y，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以F2P·F2Q＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1＝＝－，令t＝2(2k2＋1)，则F2P·F2Q＝－(t>2)，所以F2P·F2Q∈.结合①②，得F2P·F2Q∈，所以F2P·F2Q的最大值是.[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．解：(1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．由得x＝±.记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)．于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，故xG＝，由此得yG＝.从而直线PG的斜率为＝－.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.因此，△PQG面积的最大值为.2．(综合型)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线...