学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A、B、M、N是空间四点，若BA、BM、BN不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a∥b，则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量BA，BM，BN共面，则A、B、M、N共面；④中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．【答案】D2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为()A.，－1，－B．，1，C．－，1，－D．，1，－【解析】d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3.由向量基底表示唯一性得∴【答案】A3．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为()A．1B．－1C.D．－【解析】a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，∴|a|cos〈a，i〉＝＝(i＋2j＋3k)·i＝1.【答案】A4．如图239，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且AA1＝a，AB＝b，AC＝c，则A1D＝()1图239A.a＋b＋cB.a－b＋cC.a＋b－cD．－a＋b＋c【解析】A1D＝A1C1＋C1D＝AC＋(C1C＋C1B1)＝c＋(－AA1＋CA＋AB)＝c－a＋(－c)＋b＝－a＋b＋c.【答案】D5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为{8,6,4}，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,10,12)D．(4,2,3)【解析】 点A在基底{a，b，c}下坐标为(8,6,4)，∴OA＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．【答案】A二、填空题6．e1，e2，e3是空间一组基底，a＝e1－2e2＋e3，b＝－2e1＋4e2－2e3，则a与b的关系为________．【导学号：32550030】【解析】 b＝－2a，∴a∥b.【答案】a∥b7．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．【解析】由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．【答案】(8,3,12)8．已知长方体ABCDA′B′C′D′，点E，F分别是上底面A′B′C′D′和面CC′D′D的中心，且AE＝xAB＋yBC＋zCC′，则2x－4y＋6z＝________.【解析】 AE＝AA′＋A′E＝AA′＋(A′B′＋A′D′)＝AB＋BC＋CC′，又AE＝xAB＋yBC＋zCC′，∴x＝，y＝，z＝1.∴2x－4y＋6z＝5.【答案】5三、解答题9．已知在正四棱锥PABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图2310，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴2的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标．图2310【解】设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位向量．(1)因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB＝i＋j，所以向量OB的坐标为(1,1,0)，即点B的坐标为(1,1,0)．同理可得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．又点P在z轴上，所以OP＝2k.所以向量OP的坐标为(0,0,2)，即点P的坐标为(0,0,2)．因为F为侧棱PB的中点，所以OF＝(OB＋OP)＝(i＋j＋2k)＝i＋j＋k，所以点F的坐标为.同理点E的坐标为.故所求各点的坐标分别为A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0,2)，E，F.10．如图2311，在空间四边形OABC中，|OA|＝8，|AB|＝6，|AC|＝4，|BC|＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA在BC上的投影．【导学号：32550031】图2311【解】 BC＝AC－AB，∴OA·BC＝OA·AC－OA·AB＝|OA||AC|cos〈OA，AC〉－|OA||AB|cos〈OA，AB〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16，∴OA在BC上的投影为|OA|·cos〈OA，BC〉＝.[能力提升]1...
