高中数学 1.4直角三角形的射影定理练习 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题VIP免费

1．4直角三角形的射影定理1．所谓射影，就是正射影．其中，从一点向一条直线所引垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的____________．一条线段的两个端点在一条直线上的正射影间的线段，叫做这条线段在直线上的__________．2．射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的__________；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的__________．3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则BD∶BC＝____________．►一层练习1．下列命题正确的是()A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰三角形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似1．C2．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，则∠EDB＝()A．22.5°B．30°C．45°D．60°2.C3．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．13.①③4．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD＝27，BD＝3，则AC＝________，BC＝________，CD＝________．4.939►二层练习5．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB，BD＝AB－AC，则∠BAC等于()A．60°B．30°C．45°D．75°5.A6．已知在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，若AD＝p，BD＝q，则tanA的值是()A．p∶qB.∶qC.∶pD.∶6.C7．在△ABC中，CD⊥AB于点D，下列不能判定△ABC为直角三角形的是()A．AC＝2，AB＝2，CD＝B．AC＝3，AD＝2，BD＝3C．AC＝3，BC＝4，CD＝D．AC＝，BD＝4，CD＝27.B8．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为____．8.∶39．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M是BC的中点，DE⊥AM，点E是垂足．求证：DE＝.29．证明：在Rt△AMB和Rt△ADE中，∠AMB＝∠DAE，∠ABM＝∠AED＝90°，∴△ABM∽△DEA.∴＝.∵AB＝a，BC＝b，∴DE＝＝＝.►三层练习10．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝____．10.11．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝______．11．解析：依题意有AB＝5(cm)，连CD，则CD⊥AB则BC2＝BD·AB，BD＝＝(cm)．3答案：cm12．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥BC，垂足为F，若AB＝6，CF·CB＝5，则AE＝________．12．解析：依题意有CE2＝CF·CB＝5，CE＝，连接OC，则EO＝＝2，AE＝AO－EO＝1.答案：113．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高．已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．13．解析：因为BD＝4，AB＝29，由直角三角形的射影定理有BC2＝BD·AB＝4×29，即BC＝2.AD＝AB－BD＝29－4＝25.AC2＝AD·AB＝25×29，AC＝5.CD2＝BD·AD＝4×25，CD＝10.综上，AD＝25，BC＝2，AC＝5，CD＝10.14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2，求AD的长．14．解析：∵CD⊥AB，∴△BCD为Rt△，即∠CDB＝90°，∵DE⊥BC.由射影定理可知：DE2＝CE·BE＝12，∴DE＝2，CD2＝CE·BC＝16，∴CD＝4，∵BD2＝BE·BC＝48，∴BD＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理可得：CD2＝AD·BD，∴AD＝＝＝.15．如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于点G、H，交CE于点F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.415．证明：∵∠H＝∠BCE，CE⊥BH，∴△BCE∽△BHG.∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG.①∵∠H＝∠BCF，∴∠FGC＝∠BGH＝90°，∴△FCG∽△BHG，∴＝，∴BG·CG＝GH·FG.②由①②，得GD2＝GH·FG.运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系，要注意它们的综合运用．【习题1.4】1．解析：如图所示，∵△ABC是直角三角形，CD是AB边上的高，∴CD2＝AD·BD，∴602＝25×BD，∴BD＝144，∴AB＝AD＋BD＝25＋144＝169.根据射影定理知AC2＝AD·AB，∴AC－＝65.又∵BC2＝AB2－AC2，∴BC＝＝156.52．证明：如图所示，∵CD⊥AB，∴△ACD是直角三角形，又∵∠BAC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC.又∵BD＝AB－AD，∴BD＝AB－AC.3．解析：作法：①作一直线l，在l上依次截取线段AD＝b，DB＝a.②过点D作AB的垂线l′.③以AB的中点O为圆心，OB的长为半径作弧，与l′交于点C，则CD即为所求．图略．证明：连接AC，BC，OC.∵OC＝OB＝AB，∴△ABC为直角三角形．∵CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD＝ab，∴线段CD为线段a和b的比例中项．6