选修1-12.2.1双曲线的几何性质一、选择题1.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案]A[解析] e==2,由c=4得a=2.所以b2=c2-a2=12.因为焦点在x轴上,所以双曲线方程为-=1.2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为()A.-B.-4C.4D.[答案]A[解析]由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则双曲线方程可化为y2-=1,则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-=b2=4,∴m=-.故选A.3.如果双曲线-=1的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.2[答案]A[解析] 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,又两渐近线互相垂直,∴a=b,c==a,∴e==.4.双曲线x2-y2=-3的()A.顶点坐标是(±,0),虚轴端点坐标是(0,±)B.顶点坐标是(0,±),虚轴端点坐标是(±,0)C.顶点坐标是(±,0),渐近线方程是y=±xD.虚轴端点坐标是(0,±),渐近线方程是x=±y[答案]B[解析]双曲线x2-y2=-3可化为-=1,∴a=,b=,顶点坐标为(0,±),虚轴端点坐标是(±,0),∴它的渐近线方程为y=±x=±x.5.中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x[答案]D[解析] =,∴==,∴=,∴=,∴=,∴它的渐近线方程为y=±x=±x.6.双曲线4x2+my2=4m的虚轴长是()A.2mB.-2mC.2D.2[答案]D[解析]双曲线4x2+my2=4m可化为:+=1,∴m<0,∴a2=4,b2=-m,b=,2b=2.17.双曲线-=1与-=1具有()A.相同的焦点B.相同的虚轴长C.相同的渐近线D.相同的实轴长[答案]A[解析] c2=a2+b2,∴c=,∴双曲线-=1与-=1有相同的焦点.8.方程x2+(k-1)y2=k+1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是()A.k<-1B.k>1C.-11[答案]C[解析]方程x2+(k-1)y2=k+1,可化为+=1, 双曲线的焦点在x轴上,∴k+1>0且<0,∴-10)的左右焦点分别为F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则PF1·PF2=()A.-12B.-2C.0D.4[答案]C[解析]本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质.由题意得b2=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),又点P(,y0)在双曲线上,∴y=1,∴PF1·PF2=(-2-,-y0)·(2-,-y0)=-1+y=0,故选C.10.双曲线-=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于()A.B.3C.4D.2[答案]C[解析] 焦点坐标为(±5,0),渐近线方程为y=±x,∴一个焦点(5,0)到渐近线y=x的距离为4.二、填空题11.双曲线-=1的渐近线方程是________.[答案]y=±x[解析]由题意知a=2,b=2,∴双曲线-=1的渐近线为y=±x.12.椭圆+=1与双曲线-y2=1焦点相同,则a=________.[答案][解析]由题意得4-a2=a2+1,∴2a2=3,a=.13.双曲线的中心在原点,离心率e=3,焦距为6,则双曲线方程为__________.[答案]x2-=1或y2-=1[解析] 焦距为6,∴c=3,由e=3得a=1,所以b2=c2-a2=8.由于焦点不确定在x轴或y轴,所以双曲线方程为x2-=1或y2-=1.214.(2008·安徽)已知双曲线-=1的离心率为,则n=________.[答案]4[解析]①当时,则有=()2,∴n=4.经验证,符合题意.②当时无解.三、解答题15.求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程.[解析] 双曲线的一条渐近线方程为3x+4y=0,∴设双曲线的方程为-=λ,由题意知λ>0,∴16λ+9λ=16,∴λ=.∴所求的双曲线方程为-=1.16.求双曲线25y2-4x2+100=0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程.[解析]双曲线方程25y2-4x2+100=0可化为-=1.∴实半轴长a=5,虚半轴长b=2,焦点坐标为(,0).(-,0),顶点坐标为(0,-5),(0,5),离心率为e==,渐近线方程为y=±x.17.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求此双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证MF1⊥MF2;(3)求△F1MF2的面积.[解析](1)因为e=,所以双曲线为等轴双曲线,所以可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),因为...