选修1-12.2.1双曲线的几何性质一、选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[答案]A[解析] e＝＝2，由c＝4得a＝2.所以b2＝c2－a2＝12.因为焦点在x轴上，所以双曲线方程为－＝1.2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A．－B．－4C．4D.[答案]A[解析]由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－.故选A.3．如果双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A.B．2C.D．2[答案]A[解析] 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又两渐近线互相垂直，∴a＝b，c＝＝a，∴e＝＝.4．双曲线x2－y2＝－3的()A．顶点坐标是(±，0)，虚轴端点坐标是(0，±)B．顶点坐标是(0，±)，虚轴端点坐标是(±，0)C．顶点坐标是(±，0)，渐近线方程是y＝±xD．虚轴端点坐标是(0，±)，渐近线方程是x＝±y[答案]B[解析]双曲线x2－y2＝－3可化为－＝1，∴a＝，b＝，顶点坐标为(0，±)，虚轴端点坐标是(±，0)，∴它的渐近线方程为y＝±x＝±x.5．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x[答案]D[解析] ＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴它的渐近线方程为y＝±x＝±x.6．双曲线4x2＋my2＝4m的虚轴长是()A．2mB．－2mC．2D．2[答案]D[解析]双曲线4x2＋my2＝4m可化为：＋＝1，∴m<0，∴a2＝4，b2＝－m，b＝，2b＝2.17．双曲线－＝1与－＝1具有()A．相同的焦点B．相同的虚轴长C．相同的渐近线D．相同的实轴长[答案]A[解析] c2＝a2＋b2，∴c＝，∴双曲线－＝1与－＝1有相同的焦点．8．方程x2＋(k－1)y2＝k＋1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()A．k<－1B．k>1C．－11[答案]C[解析]方程x2＋(k－1)y2＝k＋1，可化为＋＝1， 双曲线的焦点在x轴上，∴k＋1>0且<0，∴－10)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则PF1·PF2＝()A．－12B．－2C．0D．4[答案]C[解析]本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，∴PF1·PF2＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故选C.10．双曲线－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于()A.B．3C．4D．2[答案]C[解析] 焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y＝±x，∴一个焦点(5,0)到渐近线y＝x的距离为4.二、填空题11．双曲线－＝1的渐近线方程是________．[答案]y＝±x[解析]由题意知a＝2，b＝2，∴双曲线－＝1的渐近线为y＝±x.12．椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1焦点相同，则a＝________.[答案][解析]由题意得4－a2＝a2＋1，∴2a2＝3，a＝.13．双曲线的中心在原点，离心率e＝3，焦距为6，则双曲线方程为__________．[答案]x2－＝1或y2－＝1[解析] 焦距为6，∴c＝3，由e＝3得a＝1，所以b2＝c2－a2＝8.由于焦点不确定在x轴或y轴，所以双曲线方程为x2－＝1或y2－＝1.214．(2008·安徽)已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.[答案]4[解析]①当时，则有＝()2，∴n＝4.经验证，符合题意．②当时无解．三、解答题15．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．[解析] 双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，∴设双曲线的方程为－＝λ，由题意知λ>0，∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝.∴所求的双曲线方程为－＝1.16．求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．[解析]双曲线方程25y2－4x2＋100＝0可化为－＝1.∴实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，焦点坐标为(，0)．(－，0)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x.17．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．[解析](1)因为e＝，所以双曲线为等轴双曲线，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为...
