学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为()A.B．C.D．【解析】M，即M，CM＝－(0,1,0)＝，∴|CM|＝＝.【答案】C2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝，y＝1B．x＝，y＝－4C．x＝2，y＝－D．x＝1，y＝－1【解析】由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，∴，解得.【答案】B3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝()A．2B．3C．4D．5【解析】由题意，得λa＋b＝(4,1－λ，λ)．因为|λa＋b|＝，所以42＋(1－λ)2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3.【答案】B4．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则|a|＝()A.B．C.D．【解析】因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝××＝，所以＝－λ.解得λ2＝，所以|a|＝＝.【答案】C5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则AB与CA的夹角θ的大小是()A．60°B．120°C．30°D．150°【解析】AB＝(－1,0,4)－(1,1,1)＝(－2，－1,3)，CA＝(1,1,1)－(2，－2,3)＝(－1,3，－2)，∴cosθ＝＝＝－，∴θ＝120°.【答案】B二、填空题6．已知三个力F1＝(1,2,1)，F2＝(－1，－2,3)，F3＝(2,2，－1)，则这三个力的合力为________．1【解析】合力为F1＋F2＋F3＝(1,2,1)＋(－1，－2,3)＋(2,2，－1)＝(2,2,3)．【答案】(2,2,3)7．已知a＋b＝(－1，－2,3)，a－b＝(1,0,1)，则a＝________，b＝________.【导学号：32550035】【解析】a＝＝(0，－1,2)，b＝＝(－1，－1,1)．【答案】(0，－1,2)(－1，－1,1)8．设向量a＝(1，－2,2)，b＝(－3，x,4)，已知a在b上的投影为1，则x＝________.【解析】∵a＝(1，－2,2)，b＝(－3，x,4)，a在b上的投影为1，∴|a|·cos〈a，b〉＝1.∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝|b|.∴－3－2x＋8＝，∴x＝0或x＝(舍去)．【答案】0三、解答题9．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(－2a)·b，(a＋b)·(a－b)．【解】a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(－2a)·b＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8.10．直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求cos〈BA1，CB1〉的值．【解】以C为原点，以CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，BN＝(1，－1,1)，∴|BN|＝.(2)依题意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，∴BA1·CB1＝3，|BA1|＝，|CB1|＝.∴cos〈BA1，CB1〉＝＝.[能力提升]1．已知A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且AB＝3AC，则C的坐标为()A.B．C.D．【解析】设C(x，y，z)，则AC＝(x－4，y－1，z－3)．又AB＝(－2，－6，－2)，AB＝3AC，2∴(－2，－6，－2)＝(3x－12,3y－3,3z－9)．∴解得【答案】C2．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.【解析】由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，及(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.两式相减，得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝＝＝.∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.【答案】60°3．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·x＝－18的向量x＝________.【解析】设x＝λa＝(2λ，－λ，2λ)，a·x＝4λ＋λ＋4λ＝9λ＝－18，∴λ＝－2，∴x＝(－4,2，－4)．【答案】(－4,2，－4)4．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1，5)，C(3,2，－5)．【导学号：32550036】(1)求△ABC的面积．(2)求△ABC中AB边上的高．【解】(1)由已知得AB＝(1，－3,2)，AC＝(2,0，－8)，∴|AB|＝＝，|AC|＝＝2.AB·AC＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14.cos〈AB，AC〉＝＝＝，sin〈AB，AC〉＝＝.∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝××2×＝3.(2)设AB边上的高为CD，则|CD|＝＝3.3
