抛物线的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为()A.B.1C.2D.4【解析】选C.y2=2px的准线为x=-,所以+4=5,p=2.2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是()A.6x-4y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0【解析】选A.设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F,所以3×-2×0+c=0,所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.3.(2017·衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为()A.-2B.2C.-4D.4【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2,0),所以=2,所以p=4.4.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.4B.2C.1D.8【解析】选C.如图,F,过A作AA′⊥准线l,所以|AF|=|AA′|,所以x0=x0+=x0+,所以x0=1.15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=()A.B.C.-D.-【解析】选D.由得x2-5x+4=0,所以x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,所以cos∠AFB===-.6.(2017·全国甲卷)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.3【解析】选C.由题意知,MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3,所以M(3,2),因为MN⊥l,所以N(-1,2),又F(1,0),所以NF:y=-(x-1),即x+y-=0,2所以M到直线NF的距离为=2.【补偿训练】设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【解析】选C.因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故4
2.7.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p>0),设圆的方程为x2+y2=r2,题目条件翻译如图:设A(x0,2),D,点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0.①点D在圆x2+y2=r2上,3所以5+=r2.②点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2.③联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.8.(2017·天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是()A.a>0B.00,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a≤1.【易错警示】忽视了y的取值范围是[0,+∞),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选D,或胡乱猜测以致错选B.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·青岛高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.【解析】由于x2=2py(p>0)的准线为y=-,由解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为A,B,4所以AB=2.由△ABF为等边三角形,得AB=p,解得p=6.答案:610.(2017·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是________.【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦点F(1,0),如图,|PM|=|PN|-=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=3-1.答案:3-1三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·吉林高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,求抛物线的标准方程.【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.【解析】由已知得=2,所以=4,解得=,5即渐近线方程为y=±x.而抛...
