2.2圆的一般方程课后篇巩固探究A组基础巩固1.若圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为()A.(1,-1)B.(12,-1)C.(-1,2)D.(-12,-1)解析将圆的方程化为(x+12)2+(y+1)2=454,即可得到圆心坐标为(-12,-1).答案D2.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0解析能将圆平分的直线必过圆心,将圆方程x2+y2-2x-4y+1=0化成标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,知圆心坐标为(1,2),代入四个选项中,只有C符合.故选C.答案C3.若关于x,y的方程x2+mxy+y2+2x-y+n=0表示的曲线是圆,则m+n的取值范围是()A.(-∞,54)B.(-∞,54]C.(54,+∞)D.[54,+∞)解析依题意应有{m=0,4+1-4n>0,所以{m=0,n<54,于是m+n<54.答案A4.方程x(x2+y2-4)=0与x2+(x2+y2-4)2=0表示的曲线()A.都表示一条直线和一个圆B.前者是两个点,后者是一条直线和一个圆C.都表示两个点D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点解析x(x2+y2-4)=0⇒x=0或x2+y2-4=0,x2+(x2+y2-4)2=0⇒x=0且y=±2.故选D.答案D5.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|的值为()A.2❑√6B.8C.4❑√6D.10解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)代入,得{D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得{D=-2,E=4,F=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=❑√(y1+y2)2-4y1y2=❑√16+80=4❑√6.答案C6.圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为.解析已知圆的圆心坐标为(1,1),由点到直线的距离公式,得圆心到直线x-y-2=0的距离d=|1-1-2|❑√12+12=❑√2.答案❑√27.动圆x2+y2-2x-k2+2k-2=0的半径的取值范围是.解析由已知得半径r=12❑√4+0-4(-k2+2k-2)=12❑√4k2-8k+12=❑√(k-1)2+2,由于(k-1)2≥0,(k-1)2+2≥2,所以r≥❑√2,即r的取值范围是[❑√2,+∞).答案[❑√2,+∞)8.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是.解析由于圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心为(a,1),又由圆与直线4x-3y=0相切,得|4a-3|5=1,解得a=2或-12(舍去).故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.答案(x-2)2+(y-1)2=19.已知圆心为C的圆经过点A(1,0),B(2,1),且圆心C在y轴上,求此圆的一般方程.解AB的中点为(32,12),且中垂线的斜率k=-1,∴AB的中垂线的方程为y-12=-(x-32),令x=0,得y=2,即圆心为(0,2).∴圆C的半径r=|CA|=❑√5.∴圆的方程为x2+(y-2)2=5,即x2+y2-4x-1=0.10.导学号91134055已知点P在圆C:x2+y2-4x+3=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程.解设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),点O的坐标为(0,0),由中点坐标公式,得x=x0+02,y=y0+02,于是x0=2x,y0=2y.① 点P在圆(x-2)2+y2=1上,∴点P的坐标满足方程(x-2)2+y2=1,即(x0-2)2+y02=1.②把①代入②,得(2x-2)2+(2y)2=1.整理,得(x-1)2+y2=14.∴点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=14.B组能力提升1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圆与x轴相切于原点,则()A.D=0,E=0,F≠0B.D=0,E≠0,F=0C.D≠0,E=0,F=0D.D=0,E≠0,F≠0解析圆心(-D2,-E2)在y轴上,所以D=0,又圆与x轴相切于原点,所以F=0,E≠0.答案B2.已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆面积最大时,圆心坐标为()A.(1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)解析 r=12❑√k2+22-4k2=12❑√4-3k2,∴当S最大时,k=0,此时圆心坐标为(0,-1).答案D3.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于()A.32B.-32C.3D.-3解析圆心为(k,0),在直线2x-y+3=0上,所以2k-0+3=0,所以k=-32,故选B.答案B4.设点A,B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x-3y-2=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0D.3x+4y+8=0答案B5.已知圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A,B两点,其圆心为P,若∠APB=90°,则实数c的值是()A.-3B.3C.2❑√2D.8解析圆x2+y2-4x+2y+c=0化成标准方程,得(x-2)2+(y+1)2=5-c,所以圆的圆心为P(2,-1),半径r=❑√5-c.因为圆与y轴交于A,B两点,满足∠APB=90°,所以r=2❑√2,解得c=-3.答案A6.若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则实数a=.解析若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的...
