8.7抛物线[课时跟踪检测][基础达标]1．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A．(0，a)B．(a,0)C.D．解析：将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝y(a≠0)，所以焦点坐标为，所以选C.答案：C2．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D.答案：D3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－解析：由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－.答案：C4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为()A．1B．2C．3D．4解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，x1＋x2＋x3＝3×＝，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.答案：C5．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是()A．8B．C．10D．解析：依题意可知焦点F，准线方程为y＝－，延长PM交准线于点H(图略)．则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，即求|PF|＋|PA|的最小值．因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝＝10.所以|PM|＋|PA|≥10－＝，故选B.答案：B6．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值为()A．5B．4C．3D．2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知AB所在的直线方程为y＝，联立得x2－x＋＝0，所以x1＝，x2＝，所以＝＝3.答案：C7．(2018届豫南九校联考)已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为()A．7B．8C．9D．10解析：抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，延长PQ交准线于M，如图所示，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.答案：C8．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是()A．等于1B．等于4C．最小值是1D．最大值是4解析：设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝·＝.而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1.答案：A9．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．解析：解法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.解法二：由y＝－x2，得y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是.答案：10．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3,0)，半径为1，则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．设P(x0，y0)，则y＝x0，|PA|＝＝＝，当且仅当x0＝时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值－1.答案：－111．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M...
