7.1柱、锥、台的侧面展开与面积1.若圆锥的底面直径为6,高是4,则它的侧面积为()A.12πB.24πC.15πD.30π解析:由已知得圆锥的母线长为=5,于是侧面积S=π×3×5=15π.答案:C2.若一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的侧面积为()A.8+B.5+C.5+2D.4+解析:由三视图可知该几何体是一个直四棱柱,底面是一个直角梯形,不垂直于底边的腰长为,于是侧面积S侧=(1+2+2+)×1=5+.答案:B3.若圆台的高为3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,其轴截面的一个底角为45°,则这个圆台的侧面积是()A.27πB.27πC.9πD.36π解析:设圆台上底半径为r1,下底半径为r2,母线长为l,如图所示,2r2=2r1+6=4r1,∴r1=3,r2=6.S圆台侧=π(r1+r2)l=π(6+3)×3=27π.答案:B4.导学号62180058边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面,则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是()A.10cmB.5cmC.5cmD.cm解析:圆柱的侧面展开图如图所示,可知EG的长即为所求的最短距离.在展开图中,可得EH=5,HG=·2π·π,在Rt△EHG中,由勾股定理可知EG=(cm).答案:D5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.解析:根据三视图还原后的几何体为一个长方体中挖去一个圆柱,此长方体长、宽、高分别为4,3,1,圆柱底面半径为1,高为1,故S=2(3×4+3×1+4×1)-2π+2π×1×1=38.答案:386.已知正四棱台两底面边长分别为4cm,8cm,侧棱长为8cm,则它的侧面积为cm2.解析:作出正四棱台的一个侧面如图,设E,F分别为AD,BC的中点,过D作DG⊥BC于点G.由题知AD=4cm,BC=8cm,CD=8cm,得DE=2cm,FC=4cm,解得GC=2cm,在Rt△DGC中,DG==2(cm),即斜高为2cm,所以所求侧面积为×(16+32)×2=48(cm2).答案:487.已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高夹角为30°,侧面积为cm2,全面积为cm2.解析:如图所示,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE=2cm,∠OPE=30°,∴斜高h'=PE===4cm.∴S正四棱锥侧=ch'=×4×4×4=32cm2,S正四棱锥全=42+32=48cm2.答案:32488.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),求该几何体的表面积.解:该几何体的底座是一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体,上面是一个长、宽、高分别为1,1,2的长方体,故所求表面积S=2(1×2+1×2+1×1)+2(1×1+1×2+2×1)-2×1×1=18(m2).9.圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.解:如图所示,设圆柱和圆锥的底面半径分别为r,R,圆锥母线长为l,则有,即.∴R=2r,l=R.∴=-1.10.导学号62180059如图所示,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=1,SB=2.求三棱锥S-ABC的表面积.解:∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.又SA∩AC=A,∴BC⊥平面SAC,∴SC⊥BC.∴四个面都是直角三角形.∵∠ABC=30°,AC=1,∴在Rt△ABC中,AB=2,BC=,在Rt△SCB中,SC==3,在Rt△SAB中,SA==2.∴S△SBC=SC·BC=,S△ABC=AC·BC=,S△SAB=SA·AB=2,S△SAC=SA·AC=.∴三棱锥的表面积S表=S△ABC+S△SBC+S△SAB+S△SAC=2+3.
