第62讲几何体外接球的半径的求法【知识要点】求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径.【方法讲评】方法一模型法解题情景已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解题步骤把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.【例1】已知四面体中，，，，平面，则四面体外接球的表面积为__．【点评】(1)本题看起来没有三条直线相交于一点且两两垂直的模型,但是通过推理分析得到了两两垂直,所以可以采用模型法来求几何体外接球的半径.（2）利用模型法解答时，一定要保证几何体的所有顶点都和长方体的顶点重合，这才能保证几何体的外接球和长方体的外接球是同一个外接球，才能用长方体的外接球半径公式，有一个点不是长方体的顶点都不行.【反馈检测1】已知棱长为的正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，则球的体积为___________.方法二解三角形法解题情景几何体不能放到长方体模型中.解题步骤找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径.【例2】在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球的表面积.【点评】(1)由于本题的几何体不宜放在长方体模型中,所以用解三角形法解答.（2）利用解三角形法求几何体外接球的半径，先要找到球心的位置，要找球心的位置，没有固定的规律，要结合几何体的特征，发挥自己的空间想象力分析，本题由于是直三棱柱，所以球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，O1ABCC1B1A1O2O如果是其它的几何体就不是这个位置了.找到球心的位置后，再确定截面圆的圆心位置，再表示出球心到截面圆圆心的距离，这个是难点，要结合几何图形分析.最后是解，求出球的半径.（2）如果几何体底面是三角形，求截面圆的半径，一般利用正弦定理求截面圆的半径.【反馈检测2】已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（）A.B.C.D.【反馈检测3】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，，，则球的表面积为（）A.B.C.D.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第62讲：几何体外接球的半径的求法参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】【反馈检测2答案】D【反馈检测2详细解析】因为为等腰直角三角形，所以AC为截面圆的直径，故该三棱锥的外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，当P,O,D三点共线且P,O位于截面同一侧的棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为，所以，求出，设外接球的半径为则,在中，,由勾股定理得，解得,所以外接球的表面积为，选D.【反馈检测3答案】A
