高考数学一轮复习 选考4-4 坐标系与参数方程 课时跟踪训练61 坐标系与参数方程 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪训练(六十一)坐标系与参数方程[基础巩固]1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[解](1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝.∴当sin＝1时，d的最小值为，此时α＝＋2kπ，k∈Z，∴P点坐标为.2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.[解](1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上，所以a＝1.3．(2018·湖北七市联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos.(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．[解](1)对于曲线C2有ρ＝8cos，即ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ，因此曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0，其表示一个圆．(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得t2－2sinα·t－13＝0，|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，因此|AB|的最小值为2，最大值为8.4．(2017·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程是(t为参数)．(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数)，曲线C1上的点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l的距离的最大值．[解](1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，由直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为x＋2y－3＝0.(2)因为点P的极坐标为，直角坐标为(2,2)，点Q的直角坐标为(2cosα，sinα)，所以M，点M到直线l的距离d＝＝，当α＋＝＋kπ(k∈Z)，即α＝＋kπ(k∈Z)时，点M到直线l的距离d的最大值为.5．(2017·西宁统一测试)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解](1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.[能力提升]6．(2017·陕西西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，并求出点D的直角坐标．[解](1)由ρ＝2sinθ，θ∈[0,2π]，可得ρ2＝2ρsinθ.因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0(或x2＋(y－1)2＝1)．(2)因为直线l的参数方程为(t为参数)，消去t得直线l的普通方程为y＝－x＋5.因为曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以G(0,1)为圆心、1为半径的圆，(易知C、l相离)设点D(x...