高中数学非常规的排列组合问题例析专题辅导VIP免费

非常规的排列组合问题例析刘云汉近来年，在各级各类考试中，出现了一些排列组合问题，这些问题涉及的知识面广，题目灵活多变，解法花样繁多，无一定模式。这类问题本文称之为非常规的排列组合问题，下面通过一些例子来剖析其解法。例1.集合，则集合A到B的映射和B到集合A的映射的种数分别是A.和B.和C.和D.和解析：因为集合B中有3个元素，B中任何一个元素都可能与A中每一个元素对应而形成映射。所以有种。（注意：按照映射的定义，“多对一”是映射，而“一对多”不是映射。）因为集合A中有5个元素，A中任何一个元素都可能与B中每一个元素对应而形成映射。所以有种，故选B。例2.集合，，其中、y，且，把满足上述条件的一对有序整数对（x，y），作为一个点的坐标，则这样的点的个数是A.9个B.14个C.15个D.21个解析：根据题意，画树图分析如下：共14个，故选（B）。例3.若是定义域为，值域为的函数，问这样的函数共有A.128个B.126个C.14个D.12个解析：因为不同的映射对应着不同的函数，所以要求函数的个数就是求映射的种数。从A到B的映射可能有下列情形：（1）ABAB……共7个共7个简记为用心爱心专心（2）ABAB共（个）ABAB共（个）（3）共（个）所以从A到B的映射共有14＋42＋70＝126种不同的情形，即满足条件的共有126个，故选（B）。例4.如图1，在某个城市中，M、N两地之间有整齐的道路网，则从M到N最短的走法共有___________种。解析：从M到N最短的走法是顺着从南到北，从西到东的方向走，不能倒走，从M到N必须走南北向的街2段，走东西向的街4段，这里不同的走法就是2段南北向的街和4段东西向的街的不同排列。以a表示一段南北向的街，b表示一段东西向的街，不同的走法是2个a和4个b的全排列（可重排列）下面可以有两种思考方法。方法1如图，第一步摆a。（1）先在下1中摆a，第二个a有5种摆法（上排）；（2）在下2中摆a，第二个a有4种摆法；（3）在下3中摆a，第二个a有3种摆法；（4）在下4中摆a，第二个a有2种摆法；（5）在下5中摆a，第二个a只有1种摆法。综上，a的摆法共有（5＋4＋3＋2＋1）种。第二步，摆b。两个a的位置一旦固定，b的四个位置也就固定了，将四个b摆入四个位置，有种方法。所以满足条件的走法共有（5＋4＋3＋2＋1）种。方法2第一条满足条件的路a与b共有6个位置，可以看作□□□□□□，任选2个位用心爱心专心置先分别摆入a，有种方法，其余四个位置都摆入b，有种方法。（在排列中，二段南北向的街和四段东西向的街是没有区别的。）所以满足条件的走法共有＝15种。推广某城市有m条南北向的街，n条东西向的街，形成整齐的长方形的道路网，如果从长方形的一端点M走向对角的另一端点N，最短的走法有种。例5.，且，则等于A.B.C.D.解析：将用公式展开即得所求的式子，故选（C）。例6.四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有A.150种B.147种C.144种D.141种解析：从10个点中取4个点的取法有种，其中四点共面的分为三类：（1）从四面体的每个面上的6个点之中取4个点的取法有种；（2）6个棱的中点构成一个平行四边形的有3种；（3）4点中有3点位于同一条棱上，另一点是对棱的中点，共有6种。所以符合题设条件的取法有种，故选（D）。例7.不共面的四个定点到的距离都相等，这样的平面共有A.3个B.4个C.6个D.7个解析：分两种情况考虑：（1）在四个定点中任取三个，确定一平面，由第四个点作的垂线，取第四个点到垂足的垂线段的中点，作平面垂直于这条垂线段，则就是满足条件的平面，这样的平面有个。（2）在四个定点中任取二个，确定一直线a，其余两个点确定一直线b，则a、b必为异面直线，过这两条异面直线的公垂线段的中点作平面垂直于这条公垂线，则也是满足条件的平面，这样的平面有个。用心爱心专心所以满足条件的平面共有＋3＝7（个）。故选（D）。例8.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为A.25个B.26个C.36个D.37个解析：根据“三角形两边之和大于第三边”，三边长均为整数，最大边长为11的三角形的边长有下列情况：最大边长为11固定，以11为第二边，第三边有（1~11）11种取法；以10为第二边，第三边有（2~10）9种取法；以9为第二边，...