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高中数学非常规的排列组合问题例析专题辅导VIP免费

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非常规的排列组合问题例析刘云汉近来年,在各级各类考试中,出现了一些排列组合问题,这些问题涉及的知识面广,题目灵活多变,解法花样繁多,无一定模式。这类问题本文称之为非常规的排列组合问题,下面通过一些例子来剖析其解法。例1.集合,则集合A到B的映射和B到集合A的映射的种数分别是A.和B.和C.和D.和解析:因为集合B中有3个元素,B中任何一个元素都可能与A中每一个元素对应而形成映射。所以有种。(注意:按照映射的定义,“多对一”是映射,而“一对多”不是映射。)因为集合A中有5个元素,A中任何一个元素都可能与B中每一个元素对应而形成映射。所以有种,故选B。例2.集合,,其中、y,且,把满足上述条件的一对有序整数对(x,y),作为一个点的坐标,则这样的点的个数是A.9个B.14个C.15个D.21个解析:根据题意,画树图分析如下:共14个,故选(B)。例3.若是定义域为,值域为的函数,问这样的函数共有A.128个B.126个C.14个D.12个解析:因为不同的映射对应着不同的函数,所以要求函数的个数就是求映射的种数。从A到B的映射可能有下列情形:(1)ABAB……共7个共7个简记为用心爱心专心(2)ABAB共(个)ABAB共(个)(3)共(个)所以从A到B的映射共有14+42+70=126种不同的情形,即满足条件的共有126个,故选(B)。例4.如图1,在某个城市中,M、N两地之间有整齐的道路网,则从M到N最短的走法共有___________种。解析:从M到N最短的走法是顺着从南到北,从西到东的方向走,不能倒走,从M到N必须走南北向的街2段,走东西向的街4段,这里不同的走法就是2段南北向的街和4段东西向的街的不同排列。以a表示一段南北向的街,b表示一段东西向的街,不同的走法是2个a和4个b的全排列(可重排列)下面可以有两种思考方法。方法1如图,第一步摆a。(1)先在下1中摆a,第二个a有5种摆法(上排);(2)在下2中摆a,第二个a有4种摆法;(3)在下3中摆a,第二个a有3种摆法;(4)在下4中摆a,第二个a有2种摆法;(5)在下5中摆a,第二个a只有1种摆法。综上,a的摆法共有(5+4+3+2+1)种。第二步,摆b。两个a的位置一旦固定,b的四个位置也就固定了,将四个b摆入四个位置,有种方法。所以满足条件的走法共有(5+4+3+2+1)种。方法2第一条满足条件的路a与b共有6个位置,可以看作□□□□□□,任选2个位用心爱心专心置先分别摆入a,有种方法,其余四个位置都摆入b,有种方法。(在排列中,二段南北向的街和四段东西向的街是没有区别的。)所以满足条件的走法共有=15种。推广某城市有m条南北向的街,n条东西向的街,形成整齐的长方形的道路网,如果从长方形的一端点M走向对角的另一端点N,最短的走法有种。例5.,且,则等于A.B.C.D.解析:将用公式展开即得所求的式子,故选(C)。例6.四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同取法共有A.150种B.147种C.144种D.141种解析:从10个点中取4个点的取法有种,其中四点共面的分为三类:(1)从四面体的每个面上的6个点之中取4个点的取法有种;(2)6个棱的中点构成一个平行四边形的有3种;(3)4点中有3点位于同一条棱上,另一点是对棱的中点,共有6种。所以符合题设条件的取法有种,故选(D)。例7.不共面的四个定点到的距离都相等,这样的平面共有A.3个B.4个C.6个D.7个解析:分两种情况考虑:(1)在四个定点中任取三个,确定一平面,由第四个点作的垂线,取第四个点到垂足的垂线段的中点,作平面垂直于这条垂线段,则就是满足条件的平面,这样的平面有个。(2)在四个定点中任取二个,确定一直线a,其余两个点确定一直线b,则a、b必为异面直线,过这两条异面直线的公垂线段的中点作平面垂直于这条公垂线,则也是满足条件的平面,这样的平面有个。用心爱心专心所以满足条件的平面共有+3=7(个)。故选(D)。例8.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为A.25个B.26个C.36个D.37个解析:根据“三角形两边之和大于第三边”,三边长均为整数,最大边长为11的三角形的边长有下列情况:最大边长为11固定,以11为第二边,第三边有(1~11)11种取法;以10为第二边,第三边有(2~10)9种取法;以9为第二边,...

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