【步步高】2016高考数学大一轮复习9.7抛物线试题理苏教版一、填空题1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝________.解析抛物线的标准方程为x2＝y，由条件得2＝－，a＝－.答案－2．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为________．解析由题不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而拋物线的准线方程是x＝－1，所以AP＝10，QB＝2，PQ＝8，故S梯形APQB＝(AP＋QB)·PQ＝48.答案483．直线4kx－4y－k＝0与拋物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于________．解析直线4kx－4y－k＝0，即y＝k(x－)，即直线4kx－4y－k＝0过拋物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，所以弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.答案4．已知拋物线y2＝2px(p>0)，过点E(m,0)(m≠0)的直线交拋物线于点M、N，交y轴于点P，若PM＝λME，PN＝μNE，则λ＋μ＝________.解析由题意知，λ＋μ为定值，因此可以取E，此时将直线MN化为特殊直线y＝x－，此时点P，设点M(x1，y1)、N(x2，y2)，则由得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p，x1x2＝.由PM＝λME，PN＝μNE得x1＝λ，x2＝μ，则λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝＋＝＝＝－1.答案－15．已知拋物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过拋物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为________．解析如图所示，由题意，可得OF＝1，由拋物线的定义，得AF＝AM， △AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴＝＝3，∴AF＝AM＝3，设A，∴＋1＝3，解得y0＝±2.∴＝2，∴点A的坐标是(2，±2)．答案(2，±2)6．设F为拋物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该拋物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________.解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)．由FA＋FB＋FC＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋x2＋x3＋p＝6.答案67．设拋物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A(0,2)，连接FA交拋物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p的值为________．解析由拋物线定义可知BM＝BF，又由平面几何知识得BM＝BA，所以点B为AF的中点，又B在拋物线上，所以12＝2p×，即p2＝2，又p>0，故p＝.答案8.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．解析作AM，BN垂直于准线，准线与x轴交点为E，设|BF|＝t，则|BC|＝2t.则可得＝，即＝，解得t＝1.又＝，即＝，∴P＝.∴抛物线方程为y2＝3x.答案y2＝3x9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是________(填序号)．解析因为PF＝MF＝NF，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误：令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．答案①③10．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且AK＝AF，则△AFK的面积为________．解析如图，过点A作AB⊥l于点B(l为准线)，则由抛物线的定义，得AB＝AF.因为AK＝AF，所以AK＝AB，所以∠AKF＝∠AKB＝45°，设A(2t2,4t)，由K(－2,0)，得＝1，得t＝1，所以S△AKF＝×4×4＝8.答案8二、解答题11．如图，已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆T过点M(2,1)，离心率为；抛物线C顶点在原点，对称轴为x轴且过点M.(1)当直线l0经过椭圆T的左焦点且平行于OM时，求直线l0的方程；(2)若斜率为－的直线l不过点M，与抛物线C交于A、B两个不同的点，求证：直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．解(1)由e＝＝，可设椭圆T方程为＋＝1，将M(2,1)代入可得b2＝2，∴椭圆T的方程为＋＝1.因此左焦点为(－，0...
