高中数学 3.1《同角三角函数的基本关系》知识讲解 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学试题VIP专享VIP免费

同角三角函数的基本关系【课前复习】1．叙述任意角三角函数的定义．2．计算下列各式的值：sin230°＋cos230°＝_______________；sin2420°＋cos2420°＝______________；45cos45sin＝_______________；tan65·cot65＝_______________．【学习目标】1．掌握同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，cossin＝tanα2．运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题．【基础知识精讲】本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用，难点是三角函数值符号在不同象限时的确定．1．同角三角函数的基本关系式，反映三角函数之间的内在联系．它们都是根据三角函数的定义推导出来的．亦可以利用单位圆用几何方法推出．2．对同角三角函数基本关系式的应用应注意：（1）关系式中要注意同角．例如sin2α＋cos2β＝1就不恒成立．（2）关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才成立．如，当α＝2k（k∈Z）时，tanα·cotα＝1就不成立．（3）对公式除了顺用，还应用逆用、变用、活用．例如，由sin2α＋cos2α＝1，可变形为cos2α＝1－sin2α，cosα＝±2sin1，1＝sin2α＋cos2α，sinα·cosα＝21)cos(sin2等．（4）注意“1”的代换，可用sin2α＋cos2α，tanα·cotα等去代换1．3．用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同角”，至于角的表达形式是无关重要的，如：sin22α＋cos22α＝1，tan2＝2cos2sin，tan4α·cot4α＝1等．4．sin2α是（sinα）2的简写，读作“sinα的平方”，而不能写成sinα2，前者是α的正弦值的平方，后者是α的平方的正弦，两者是不同的．5．同角三角函数的基本关系式有哪些应用？（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式．其中，根据角α终边所在象限求出其三角函数值，是本课时的一个难点，它的结果不唯一，需要讨论，正确运用平方根及象限角的概念，是解决这一难点的关键．6．根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值（简称“知一求二”）时，1如何判断是一组结果还是两组结果？如果角所在象限已指定，那么只有一组解；如果角所在象限没有指定，一般应有两组解．7．基本关系式的重要等价变形有哪几个？常用的有以下几个：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝cosα·tanα；cosα＝tansin；（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；2sin1＝|cosα|．【学习方法指导】［例1］已知α是第三象限角且tanα＝2，求cosα的值．分析：本题是1992年高考题，虽然简单，但有很高的训练价值，下面给出两种解法．解法一：（公式法）由tanα＝2知cossin＝2，sinα＝2cosα，sin2α＝4cos2α，而sin2α＋cos2α＝1，∴4cos2α＋cos2α＝1，cos2α＝51．由α在第三象限知cosα＝－55解法二：（锐角示意图法）图4－4－1先视α为锐角，作锐角示意图，如图4－4－1，则cosABC＝55 α是第三象限角，∴cosα＝－55．当已知角的一个三角函数值是字母时，如何求其他三角函数值？［例2］已知sinα＝m（|m|<1），求tanα，cosα．分析：由sinα求cosα，需用公式sin2α＋cos2α＝1，但cosα取正或取负应根据α所在象限来确定，所以需对α分类讨论．解：（1）当－1