高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简例1(1)化简：＝.(2)已知cos＝，θ∈，则sin＝.答案(1)cos2x(2)解析(1)原式＝＝＝＝＝cos2x.(2)由题意可得，cos2＝＝，cos＝－sin2θ＝－，即sin2θ＝.因为cos＝>0，θ∈，所以0<θ<，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式可得cos2θ＝，由两角差的正弦公式可得sin＝sin2θcos－cos2θsin＝.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)已知cos(x－)＝－，则cosx＋cos(x－)＝.(2)若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为()A.B．－C.D．－答案(1)－1(2)D解析(1)cosx＋cos(x－)＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝cos(x－)＝×(－)＝－1.(2)cos2α＝sin＝sin＝2sincos代入原式，得6sincos＝sin， α∈，∴cos＝，∴sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.题型二三角函数的求值命题点1给值求值问题例2(1)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝.答案解析 α为锐角，∴sinα＝＝. α，β∈(0，)，∴0<α＋β<π.又 sin(α＋β)，∴cos(α＋β)＝－.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝＝.(2)(2015·广东)已知tanα＝2.①求tan(α＋)的值；②求的值．解①tan(α＋)＝＝＝－3.②＝＝＝＝1.命题点2给值求角问题例3(1)设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为()A.B.C.D.或(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为．答案(1)C(2)－解析(1) α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝－，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(，2π)，∴α＋β＝.(2) tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.又 tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1. tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝.答案解析 α，β为锐角，∴cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.又0<α＋β<π，∴α＋β＝.思维升华(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．(1)已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝.(2)(2016·成都检测)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α＋β的值是()A.B.C.或D.答案(1)(2)A解析(1) α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝，∴＝＝.(2)因为α∈[，π]，sin2α＝>0，所以2α∈[，π]，所以cos2α＝－且α∈[，]，又因为sin(β－α)＝>0，β∈[π，]，所以β－α∈[，π]，所以cos(β－α)＝－，因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos2α＋cos(β－α)sin2α＝×(－)＋(－)×＝－，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝(－)×(－)－×＝，又α＋β∈[，2π]，所以α＋β＝，故选A.题型三三角恒等变换的应用例4(2016·天津)已知函数f(x)＝4tanxsin·cos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos－＝4sinxcos－＝4sinx－＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)令z＝2x－，则函数y＝2sinz的单调递增区间是，k∈Z.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.设A＝，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝.所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y＝...