第1课时两角差的余弦公式分层演练综合提升A级基础巩固1.化简sin(x+y)sin(y-x)-cos(x+y)cos(x-y)的结果为()A.sin2yB.cos2yC.-cos2yD.-sin2y答案:C2.若α∈[0,π],sinα3sin4α3+cosα3cos4α3=0,则α的值是()A.π6B.π4C.π3D.π2答案:D3.在平面直角坐标系中,角α与角β均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则cos(α-β)=-79.4.若cosα=45,cos(α-β)=-45,3π2<α<2π,π2<α-β<π,则cosβ=-1.5.若x∈π2,π,且sinx=45,求2cosx-2π3+2cosx的值.解:因为x∈[π2,π],sinx=45,所以cosx=-35.于是2cos(x-2π3)+2cosx=2(cosxcos2π3+sinx·sin2π3)+2cosx=2(-12cosx+❑√32sinx)+2cosx=❑√3sinx+cosx=4❑√35-35=4❑√3-35.B级能力提升6.若cosθ+π6=513,0<θ<π3,则cosθ等于()A.5❑√3+1226B.12-5❑√313C.5+12❑√326D.6+5❑√313解析:因为θ∈(0,π3),所以θ+π6∈(π6,π2).又因为cos(θ+π6)=513,所以sin(θ+π6)=1213,所以cosθ=cos[(θ+π6)-π6]=cos(θ+π6)cosπ6+sin(θ+π6)sinπ6=513×❑√32+1213×12=5❑√3+1226.答案:A7.若cos(α-π6)+sinα=45❑√3,则cos(α-π3)的值是45.解析:因为cos(α-π6)+sinα=❑√32cosα+32sinα=45❑√3,所以12cosα+❑√32sinα=45,所以cos(α-π3)=12cosα+❑√32sinα=45.8.若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)的值是-12.解析:由题意,得sinα+sinβ=-sinγ,①cosα+cosβ=-cosγ,②①2+②2,得2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1,所以cos(α-β)=-12.9.如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.(1)如果A,B两点的纵坐标分别为45,1213,求cosα和sinβ;(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值.解:(1)因为☉O为单位圆,且点A,B的纵坐标分别为45,1213,所以sinα=45,sinβ=1213.因为α为锐角,所以cosα=35.(2)因为β为钝角,且结合(1)知cosβ=-513,所以cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=-513×35+1213×45=3365.C级挑战创新10.多空题已知点P(1,❑√2)是角α终边上一点,则sinα·cosα=√23,cos(π6-α)=3+❑√66.解析:由题意可得sinα=❑√63,cosα=❑√33,所以sinαcosα=❑√63×❑√33=√23,Cos(π6-α)=cosπ6cosα+sinπ6sinα=❑√32×❑√33+12×❑√63=3+❑√66.
